t=(2x-1)e^x 일때
integral e to 3e² x dt
고교과정에서는 원론적으로 교과서에서는
integral f(g(x))g'(x) dx <=> integral f(t) dt (t=g(x))
만을 얘기할뿐
이렇게 dx dt를 수취급하는게아니라 노테이션상으로만 그렇게보이게끔 하는거라
무지성으로
dt=(2e^x+(2x-1)e^x)dx
해놓고 dt자리에 저거대입해!
끼워맞추기식으로 푸는게 원론적으로아니잖아
저건 고교과정에서 원론적으로 어케보임?
x를 t에대한함수로 명시적으로 나타내기는 힘들어보이는데..
고교과정으로 안되나?
고교과정으로, 저경우에서
integral e to 3e² x dt=
integral 1 to 2 x(2e^x+(2x-1)e^x)dx 인걸 보일수있나?
dt dx를 걍 곱셈기호마냥 대신해주는 끼워맞추기로 해도 됨을 모든경우에대해 다 됨은 어케증명해?
이거 고교과정으로 정당화해주실 천사구함
개인적으로 교과서가 이부분 좀 너무 대충넘어가고잇다고생각함
- dc official App
구글에 미적분 교과서 치면 pdf 올려놓은 곳 있으니 거기 가보셈
교과서에선 앵무새마냥 저 표현만 원론적으로따라야한다! intrgral dx자리에 dx를 수처럼 취급해서dt끼우기안돼! 하니까 원론적으로어케되는지궁금한거 - dc App
저런 표기 자체를 쓰면 안 됨 x에 대한 식을 적분하려면 dx가 있어야지 dt가 있음 안됨
x와t 사이관계식이 일대일대응이라 x=g(t)로 써줄수잇지않음? - dc App
x t 둘다 양수일때 ㅇㅇ 적분구감앙수니까 - dc App
저경우에 본문의 표현이되나궁금 - dc App
그런 경우면 x=f(t)고 t=g(x)라고 할 때 xdt=f(t)dt 적분을 t=g(x)로 치환적분하면 xg’(x)dx 적분으로 바뀜. 그래서 본문처럼 할 수 있음
먼저 저렇게 쓴 경우는 x가 t에 관한 함수로 잘 정의된다는 얘기겠지 다시말해 대략 역함수관계라는 것이고 t=g(x), x=g^-1(t)라 쓸 수 있음. 그러므로 int xdt = int g^-1(t)dt = int g^-1(g(x)) g'(x)dx = int xg'(x)dx