(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 2 * a * b.
(a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 + c^3) = 3 * (a + b) * (b + c) * (c + a).
그러나 (a + b + c + d)^4 - (a^4 + b^4 + c^4 + d^4) ≠ 4 * (a + b + c) * (b + c + d) * (c + d + a) * (d + a + b)이잖아.
왜냐하면 4^4 - 4 ≠ 4 * 3 * 3 * 3 * 3이니까.
이제 두 문제를 질문하겠음:
질문 1) 항
(a + b + c + d)^4 - (a^4 + b^4 + c^4 + d^4)
은 어떻게 인수분해됨?
질문 2) 항 X_n이 인수분해되는지 판정하는 법은 뭐임?
X_n :== (a_1 + a_2 + ... + a_n)^n - (a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n).
우선 저건 동차다항식(homogenous polynomial)인데, 동차다항식은 만약 인수를 가지면 그 인수가 역시 동차임을 알고 있음. (증명은 f가 동차식일 필요충분이 f(kx_1,...kx_n ) = k^d f(x_1...) 인거 이용하면 됨)
대칭식이네
1번에서 2번에서 저게 각각 인수가 있는 이유는 a=0에서, a=-b에서 등호가 성립하리란 보장이 있어서고, 보통은 저런식의 고차의 동차방정식은 왠만해선 factor가 눈에 안보이면 있을이유가 없음..
울프람이 4일 때는 인수분해 안된다고 함
그리고 저게 f(a1,...an)대신 ai들을 제멋대로 바꿔도 변하지 않는데, 그럼 인수로 적은 것도 역시 그런형태여야함.. 근데 그 인수중에 완전대칭식이 아닌애들이 있다? 면 위에 (a+b) 순환곱 한것처럼 인수를 바꿔치기한게 역시 인수가됨..
해서 좀 생각해보면.. 만약 저게 인수분해가 된다면 1. 어떤 1차식이 존재해서 그 1차식에 변수를 재배열해서 넣을때 생기는 다항식의 개수가 n개이거나 2. 모든 인수가 완전대칭식이거나 둘중 하나가 보장됨
그리고 사실 당연한게 니가 쓴 대로 4^4 - 4 = 252가 계수의 합인데 인수로 7이 있으니 인수분해 안된다는걸 금방 짐작할 수 있음
그렇군요. 답변 감사합니다.
어렵다.. - dc App
1차식중 그런 형태를 가진경우는 예시로 들었던 그런다항식의 상수배밖에 없을거니까 그땐 직접 (s-x1)...(s-x_n) 전개해서 그게일어나지 않음을 확인할 수 있을거고.. 1차식 인수를 가지는 경우는 나머지정리의 영향을 받으니 역시 걸러질거고.. 그럼 4차일땐 사실 2차동차식이 두개밖에 없으니까 직접 계산해도 안되는게 나오는데
지금 적으면서 풀어보는데 n>=5에서 뭐 그렇게 깔끔하게 되는 풀이는 안떠오르네
2차동차식 -> 2차 완전대칭 동차식
가능할법한 공략법은 변수자리에 t의 상수배나 1을 몇개 집어넣어서 걔네가 어떤 Eisenstein polynomial같은게 되어준다면 기약인게 보장이 된다던가 하는 식으로 해볼순 있겠는데.. 지금 펜이 없으니 다른 풀이를 기다려볼수밖에
모두 암산의 결과라는 뜻
고민해주셔서 정말 감사합니다.