[중고딩문제] 논술 논제 질문

[익명(118.235)]

(a,c)에서 정의된 이계도함수가 연속인 함수 f(x)에 대하여

a<x<b에서 f'(x)가 강하게 증가하고

b<x<c에서 f'(x)가 강하게 감소하면

항상 어떤 직선 L(x)가 존재하여

f(x)=L(x)가 구간 (a,c)에서 3개이상의실근을 갖는다

이거 어떻게할까요

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[익명(1.226)]

음.. (a,b)와 (b,c)에 중간값 정리를 조져서 나온 기울기를 맥시멈 조지고 b를 지나가게 하나..?

[익명(1.226)]

기울기 두개 나오니까 두개중 맥시멈 ㅇㅇ

[익명(59.17)]

(a, c)라 안될것 같은데

[익명(1.226)]

열린구간이라 그런거면 a랑 b 사이의 어떤a'에 대하여 조지는 식으로 하면 됨.

[건전여우(lustyfox2nd)]

f'(x)가 강하게 증가하면 f''(x)>0이고 강하게 감소면 f''(x)<0이니까 f'(x) = g(x)로 놓고 어떻게 하면 안되나? 근데 두번미분 가능한지 여부가 문제가 되려나

[익명(59.17)]

어떤 m 잡아서 f'(x) = m인 두 해 s, t 잡고 f'(x) - m을 적분하면 적분한 함수가 극대(s) 극소(t)가 나오는데 이 극대 극소가지고 또 사이값 정리 이러쿵 저러쿵 쓰면 존재한다 보일 수 있음. 그런데 여기서 이 m을 잡을 때 좀 잘 잡아야함.

[Euler(lonelymath)]

1. f'(a) ≤ f'(c)라면 f'에 대한 중간값 정리에 의해서 어떤 a* < b < c가 존재하여 f'(a*) = f'(c)이고, f'(a) > f'(c)라면 어떤 a < b < c*가 존재하여 f'(a) = f'(c*)를 만족함. 따라서 요약하면, 어떤 a* < b < c*가 존재하여 f'(a*) = f'(c*)를 만족하게 됨.

[Euler(lonelymath)]

2. 그렇다면 f'는 (a*,b)에서 강증가하고 (b,c*)에서 강감소하므로, [a*,c*] 위에서 f'의 최솟값은 f'(a*)=f'(c*), 최댓값은 f'(b)이고 f'(a*) < f'(b)를 만족함.

[Euler(lonelymath)]

3. 이제 L을 (a*,f(a*))와 (c*,f(c*))를 잇는 직선으로 두고, 이 직선이 문제에서 원하는 직선이 됨을 보일것임. L의 기울기를 m = (f(c*) - f(a*)) / (c* - a*)이라 하면, [a*,c*] 위에서 f'(x) - m을 적분한 값은 f(c*) - f(a*) - m(c* - a*) = 0임. 위의 2와 f'의 연속성에 의해서 f'(a*)=f'(c*) < m < f'(b*)를 만족할 수밖에 없음.

[Euler(lonelymath)]

4. 한편 q(x) = f(x) - L(x) = ([a*,x] 위에서 f'(t) - m의 적분값)을 만족하고, q는 x=a*와 x=c*에서는 함수값이 0임. f'(a*)=f'(c*) < m < f'(b*)이므로 x=a*와 x=c* 근방에서는 q의 기울기는 음수가 되므로, 이는 a* 근방에서 q는 음수이고 c* 근방에서 q는 양수가 되므로, 중간값 정리에 의해서 (a*,c*) 위에서 q(x) = 0인 근이 존재함. 따라서 q는 a*,c*를 포함해서 근 3개 존재.