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21번 문제..

해결한 것 같으니 그냥 풀이를 써보겠습니다.

■문제 21

fn이 f로 weakly converge in l^p 인 것과 필요충분 조건은

sup{||fn||p : n in N}이 유한이고

fn이 f로 pointwise converge 하는 것이다.


☆풀이☆

♡1 fn의 norm이 bounded이다.
fn이 f로 weakly converge in Lp라는 것의 정의는

모든 g in (Lp)*에 대해 g(fn)이 g(f)로 수렴하는 것이다.

Lp는 그것의 dual space인 Lp*=Lq와

대수적으로, 위상적으로 같기 때문에 (isometrically isomorphic)

double dual과도 같다

hn, h를 각각 fn과 f에 대응하는 (Lp)**의 원소라고 하면

모든 g in (Lp)*에 대해 hn(g)는 h(n)으로 수렴한다.

hn(g)는 수렴하는 복소수열이기 때문에 유계이고

Lp space는 Banach space이기 때문에

Uniform boundedness principle을 사용할 수 있다

따라서 hn의 norm은 bounded이다.

Lp와 double dual의 대응은 norm을 보존하기 때문에

fn의 norm도 bounded이다.

♡2 fn은 f로 pointwise converge한다.
a in A를 하나 고정한다.

g in Lp를 {a}에 대한 characteristic function으로 정의한다.

그러면 weakly convergence에 의해 g(fn)이 g로 수렴한다.

(※ 이 다음에서 little l^p가 필요하다 counting measure)
g(fn)=integral (fn g) = fn(a)

g(f)=integral (f g) = f(a)


♡3 반대 방향
20번 문제의 a를 증명하는 것과 같다

이 문제에서 힌트로 step을 제공하였으니 따라가보자

????step 1
g가 Lq에 있다면 모든 양수 e>0에 대해

다음을 만족하는 d>0가 존재한다.

(메져 뮤를 편의상 u로 쓰겠습니다)

u(E)

◇ step1의 증명

v라는 메져를 새롭게 정의 하는데

v(E) = (integral on E |g|^q)

이는 u에 대해 absolutely continuous하다 (v <따라서 step 1이 증명된다.

????step 2
다음을 만족하는 measurable set A를 찾을 수 있다

u(A)는 finite and (integral on XA |g|^q)

◇ step2의 증명
Vitali convergence theorem의 내용이다.

????step3
모든 양수 t에 대해 다음을 만족하는 subset B of A가 존재한다.

u(A-B)

◇ step3의 증명
A가 finite measure이므로 Egoroff theorem을 적용할 수 있다.


???? final step
sup{||fn|| : n in N}이 유한이고

fn이 f로 pointwise converge 한다면

fn은 f로 weakly converge in Lp이다.

◇ 보여야 할 것
: 모든 g in (Lp)*에 대해 g(fn)이 g(f)로 수렴한다.

|g(fn) - g(f)|
= integral on X-A + integral on A-B + integral on B

각각 Holder inequality를 사용하면
(g에 q norm, fn-f에 p norm)

위의 스텝에 의해 앞의 두 항은 임의의 양수보다 작아진다.

또한 B에서의 적분은

||g||q ||fn-f||p 보다 작아지고

g는 Lq이고 fn이 uniform converge 하므로 0으로 간다.