보통 해석개론같은데 보면
실수가 존재한다고 가정한다음 체의 공리로부터 이것저것 증명하면서
"양수" 를 이렇게 정의함.
R의 공집합이 아닌 부분집합 P과 그 덧셈의 역원 집합
-P={-p : pㅌP} 에 대해, 다음을 만족하는놈이 존재한다
1. 모든 실수는 다음 세 집합의 원소이벼, 세 집합은 서로소이다.
P, {0}, -P
2. x,y가 P의 원소이면
x+y, xy 모두 P의 원소이다
근데 이런 P가 실수에서 유일함?
저거 만족하는 P1, P2 가 있으면
P1 \cap P2 = \mathbb Q
인거싸진 알겠는데
양의 초월수나 무리수도 P의 원소임이 증명 가능함?
내가 너무 이상하게 생각하는건가?
- dc official App
실수를 어케 구성하냐에 달라질수도 있을지도 모르겠지만 무리수 x와 자신에 속하는 유리수보다 작은 모든 우리수를 포함하는(그니까 상계 미만의 수를 모두 포함하는, 직접 해보면 이해될거임) 유리수의 부분집합은 일대일대응되니까 양수 유리수가 일치하는데서 충분할듯
아 그냥 데데킨트 컷을 잡아버리면 되는구나 말되네 - dc App
유일하지 않음.
정확히 말하면, 실수의 순서체 구조를 다르게 줄 수 있다는 뜻임.
이런시발 내가 지금까지 알던수학은 다 거짓이었어 - dc App
아 아니다. 내가 착각함.
다만 위와 같은 이유는 아니고, (R에서) 0과 익숙한 양수들을 모은 것이 (R에 있는) 누군가의 제곱들을 모아둔 것과 꼭 일치하기 때문.
뭔가 실수랑 똑같은 순서관계 갖는데 Q(π) 만 순서관계 반대인놈 만들 수 있을거같음. 완비성은 성립하지 않는 대신 사칙연산은 가능하게 - dc App
아 그게 그렇게 되나...좀더 고민해봄 - dc App
ㄴㄴ. 이건 R 뿐만 아니라 real closed field들 모두에 해당하는 이야기임. 네가 말한 Q(π)나, Q(2^1/2)는 그렇지 않아서 가능한 거고.
윗^4댓에서 전자는 순서라는 구조에 의존하고, 후자는 순서에 상관없이 대수적인 연산만 사용했다는 걸 캐치하셈.
아하 이해했다 ㄱㅅㄱㅅ - dc App
생각해보면, 제곱의 결과물들은 항상 0 "이상"이어야 함(순서체의 관점에서는) 근데 그렇다면 0과 익숙한 양수들은 어떤 순서가 오든(물론 순서체가 되게 한다는 조건이 붙지만) 그 순서에 따라 0 이상이어야 할 거 아님?