C는 저 화살표방향의 반시계방향 폐곡선입니다.

제가 궁금한건 5번째에서 6번째줄로 넘어가는 부분, 그린정리를 사용한 부분에 관련해서 궁금한건데

그린정리를 사용하려면 선행되는 조건중 하나가 저 두 함수들의 1,2계 편도함수가 폐곡선 내부에서 연속이어야 하잖아요.

f(z)=xy^2-x^2yi =u(x,y) + v(x,y)i 로 주어져있긴한데 이걸로 보면 u(x,y), v(x,y) 는 1,2계 편미분이 연속이긴한데, 그렇다고해서 f(z)가 저 구간내에서 연속이 되는건 아니겠죠? (만약 해석적이라면 적분값이 0이 나올테니 당연히 아닐테고)

제가 궁금한건 영역 D에서 이 u,v의 1,2계 연속인것과 f(z)가 무슨 연관이 있는지가 궁금합니다.