[문제]
자연수 집합에서 제시된 아래의 조건을 동시에 만족할 확률이 0으로 수렴함을 보이시오.
2로 나눌 때 나머지 1... (조건X_1)
4로 나눌 때 나머지 1... (조건X_2)
8로 나눌 때 나머지 1... (조건X_3)
...
[증명]
우선, (조건X_1)을 만족하는 임의의 자연수 k를 정의하고 자연수 n에 대하여 k가 (조건X_n)을 만족할 확률을 P(X_n)이라 할 때 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 부등식 P(X_1∩X_2∩...X_m)<1이 만족함을 수학적 귀납법으로 보여보자.
m=2일 때, P(X_1∩X_2)<1임은 자명하므로 성립한다.
m=N일 때 구하려는 부등식이 성립함을 가정하면 다음과 같다. P(X_1∩X_2∩...X_N)<1
이때, (조건N+1)까지 동시에 만족할 확률은
P(X_1∩X_2∩...X_(N+1))=P(X_1∩X_2∩...X_N)P(X_(N+1)|X_1∩X_2∩...X_N)이므로, P(X_1∩X_2∩...X_N)<1에 의해서 P(X_1∩X_2∩...X_(N+1))<1이다. 따라서 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 위의 부등식이 성립한다.
그리고 P(X_(m+1)|X_1∩X_2∩...X_m)<1이므로 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 부등식 P(X_1∩X_2∩...X_(m+1))<P(X_1∩X_2∩...X_m) ------- (☆)
이 성립한다.
따라서 최종적으로 구하려는 확률은 부등식(☆)에 의해 limP(X_1∩X_2∩...X_m)=0이다.
자연수 집합에서 제시된 아래의 조건을 동시에 만족할 확률이 0으로 수렴함을 보이시오.
2로 나눌 때 나머지 1... (조건X_1)
4로 나눌 때 나머지 1... (조건X_2)
8로 나눌 때 나머지 1... (조건X_3)
...
[증명]
우선, (조건X_1)을 만족하는 임의의 자연수 k를 정의하고 자연수 n에 대하여 k가 (조건X_n)을 만족할 확률을 P(X_n)이라 할 때 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 부등식 P(X_1∩X_2∩...X_m)<1이 만족함을 수학적 귀납법으로 보여보자.
m=2일 때, P(X_1∩X_2)<1임은 자명하므로 성립한다.
m=N일 때 구하려는 부등식이 성립함을 가정하면 다음과 같다. P(X_1∩X_2∩...X_N)<1
이때, (조건N+1)까지 동시에 만족할 확률은
P(X_1∩X_2∩...X_(N+1))=P(X_1∩X_2∩...X_N)P(X_(N+1)|X_1∩X_2∩...X_N)이므로, P(X_1∩X_2∩...X_N)<1에 의해서 P(X_1∩X_2∩...X_(N+1))<1이다. 따라서 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 위의 부등식이 성립한다.
그리고 P(X_(m+1)|X_1∩X_2∩...X_m)<1이므로 2이상의 모든 자연수 m에 대하여 부등식 P(X_1∩X_2∩...X_(m+1))<P(X_1∩X_2∩...X_m) ------- (☆)
이 성립한다.
따라서 최종적으로 구하려는 확률은 부등식(☆)에 의해 limP(X_1∩X_2∩...X_m)=0이다.
네 주장이 말이 되려면 우선 자연수들의 부분집합에 배정된 확률이 구체적으로 어떻게 정의되어 있는지부터 논의해야 하고, 별 표시된 주장으로부터 확률이 0으로 수렴한다는 결론을 어떻게 얻을 수 있는지도 전혀 분명하지 않음. 그리고 애초부터 저 조건을 동시에 만족하는 자연수 자체가 없음
1. 구체적으로 논의하지 않으면 확률이 1이 아니라는 것 조차 확실하지 않다는 말이지? 2. 지금보니 그런듯. 수렴한다는 것만 보였으면서 0이라고 단정지었네. 3. 조건이 유한하다면 동시에 만족하는 자연수는 얼마든지 있지않음?
조건1 : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25... 조건2 : 1 5 9 13 17 21... 조건3: 1 9 17 ... 조건4: 1 17...
조건 1부터 k까지만 만족할 확률의 극한을 구하고 싶은거면 그렇긴 하지
어짜피 내가 구한 것은 유한한 조건간의 확률이니까 P(X_1∩X_2∩...X_m)>0이라는 조건을 추가하면 조건간의 확률을 구체적으로 정의 할 수 있지 않을까? 구체적으로 정의하면 확률이 0으로 수렴하는 근거도 확립할 수 있을 것이고
교집합이 양수라는 점에서 주어진 조건을 만족하는 자연수가 무수히 많다는 문제를 해결할 수 있고, 그 한계도 같이 커지니까 극한을 구할 때도 상관없고
그럼 예를 들어서 {1}이라는 사건에 해당하는 확률은 얼마로 정의할건데
유한한 것의 극한을 논하고 싶은 거니까 1 3 // 1 -> 1/2 1 3 5 7 // 1 5 -> 1/2와 같이 짝수개의 확률과, 1 // 1 -> 1 1 3 5// 1 5 -> 2/3과 같이 홀수개의 확률의 극한값이 같으니까 이와 같이 정의 하면 되지 않을까
그렇다면 {1}이라는 사건에 대한 확률은 1나누기 1을 포함하는 자연수의 유한집합의 개수겠지
확률은 그렇게 정의하는게 아니라 어떤 sigma algebra에서 정의된 positive measure 중에서 total variation=1인 애를 말하는거임. 너처럼 정의하면 countable additivity가 깨져서 안좋음
아마
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_density
가 네가 원하는 개념일 거 같은데.. 이걸 확률이라고 부르진 않음. 어쨌든 네가 이런 의미에서의 극한을 원하는거라면 답은 0이 맞겠지
오 맞음. 내가 하려던 게 이거임. 내가 이걸 이용해서 최종적으로 하고싶은 건 거의 모든 자연수에서 다음과 같은 조건들을 충분히 겹치다보면 결국 만족할 수 없는 조건을 만나게 돼. 이건데 자연밀도로 설명이 가능할까?
조건부확률이 1보다 작다는게 엄청 중요한 부분 같은데 그 부분 설명이 없는듯
결국엔 58말대로 자연수들의 부분집합에 배정된 확률의 구체적인 정의가 필요할 듯
https://m.dcinside.com/board/math/38919