고등학생이구.. 기말도 끝났으니 슬슬 세특 발표해야하는데
제가 친구랑 아래 공식가지고 원의방정식 푸는거 보시더니
그 공식을 증명하면 세특으로 써주신다고 하셨어요
이 공식이 세 점이 주어졌을때 삼각형의 넓이를 구하는 신발끈공식처럼
세 점이 주어졌을때 원의 방정식을 구하는 공식인데
세 점 중 하나는 반드시 (0,0)을 지나야 하고
나머지 두 점이 (a,b) , (c,d) 라고 할 때
x y x^2 + y^2 x y
a b a^2 + b^2 a b
c d c^2 + d^2 c d
로 적은 뒤 대각선으로 곱하고 빼주는거에요
이게 예시인데 유튜브 주소 올려놓을게요... 행렬이나 벡터 사용해도 좋으니 증명만 해주시면 감사하겠습니다. ㅠㅠ
https://www.youtube.com/watch?v=Qa49llhH_Ug&t=14s&ab_channel=%ED%8B%80%EA%B9%A8%EA%B8%B0%EC%88%98%ED%95%99TV%7C%EB%8F%84%EC%84%9C%EC%B6%9C%ED%8C%90%EC%95%88%ED%88%AC%EC%A7%80%EB%B0%B0
글자수가 모자라서 예시 사진 뺐어요 죄송합니다 ㅠㅠ
https://darkpgmr.tistory.com/60
이게 선형대수를 이용한 방법이라는데
덕분에 행렬이랑 벡터도 조금 공부했는데
도저히 모르겠어요 ㅠㅠ
어떻게 위 공식이 유도된건지 알려주시면 감사하겠습니다
세점을 지나는 삼각형 생각한다음에 각변의 수직이등분선의 교점 구하면 되는거 아니냐
(0.0) 이랑 (a,b) 지나는 직선의 수직이등분선이랑 (0.0) 이랑 (c,d) 지나는 직선의 수직이등분선의 교점 간단하게 나오고 그거로 반지름도 (0,0) 까지의 거리하면 바로 나오는데
아 예 무슨 얘기인지 이해했구요
일단 det(행렬식)이 무엇인지 알아야 하거든요
이해못해도 일단 설명은 한다면, 저 행렬식을 풀었을 때 (님이 말하는 신발끈처럼 했을 때) 저 식이 2차식이 되는 건 분명해요
xy항이 없으므로 원방이죠
그런데 (x,y)에 (a,b) 혹은 (c,d)를 대입하면 행렬식은 0이 됩니다. (행렬식은 두 행이 서로 같으면 0이 되죠)
따라서 행렬식을 전개했을 때 나오는 이차식은 원방이며 두 점을 지나며 원점도 지나기 때문에 저 세점을 지나는 원방이죠
비슷한 예시 들어드리자면 1 x y 1 a b 1 c d 는 (a,b)와 (c,d)를 지나는 직방이죠
위에분처럼 복잡하게 유도해도 되지만, 수학적 증명은 간단하고 명료하고 응용성이 있어야죠. 이 공식은 막 만든 공식이 아니고 다른 경우데도 써먹을 수 있도록 만든 겁니다. 이를테면 직방의 경우처럼
이거 제가 답글다는법을 몰라서요... 116.36님 말하신게 맞는데 원의 방정식을 구하는 방법은 여러가지가 있고 그중에 저 방법을 제가 행렬을 이용한 방법으로 증명해가야해서요.. 221.163님 행렬 조금 공부하고 왔는데 행렬식을 만드는 과정을 설명해주실 수 있을까요? 세 점이 주어졌을때 어떻게 저 공식이 유도되는거죠??
그러니까 저 신발끈 푸는 거 같은 걸 행렬식이라고 부르는 겁니다. 나무위키 행렬식 부분에 정의1이 공대에서 쓰는 정의이고 그거 쓰시면 돼요
앗 계속 쓰시고 계셨구나.. 천천히 읽어보고 답변드리겠습니다
내친김에 행렬식이 두 행이 같으면 0이 되는 이유까지 설명하고 싶은데... 이럴려면 행렬 깊이 공부하셔야 해요. (벡터는 공부할 필요 없고요) 이게 행렬식의 정의를 하는 방법이 두 가지인 걸로 알고 있어요. (1)을 definition으로 잡아 (2)를 property로 쓰는 거. 하나는 (2)가 def (1)이 prop. 하나는 수학과에서 하나는 공대에서
근데 저는 행렬을 쓴적이 없는데 x y x^2 + y^2 x y a b a^2 + b^2 a b c d c^2 + d^2 c d 이렇게 쓰는거 자체가 행렬을 사용하는건가요?? 그러면 (a,b) 랑 (c,d)가 주어졌을때 이 두점가지고 어떻게 위의 식을 만들 수 있는건가요?
혹시 카톡이나 디스코드로 질문드려도 될까요??
https://m.dcinside.com/board/math/39064
깊이 배울필요 없이 그래프를 생각해보면, f=ax+by, g=cx+dy 두 함수가 identity면 당연히 선형 변환 변화값은 0이죠. 행렬식 계산한 값은 ad-bc(=0)가 됩니다
행렬식의 정의를 이용한거에요, 계산 자체가 행렬식이라고요
그죠 118.235 말처럼 이걸 행렬식의 정의로도 생각할 수 있는데(그게 공대에서 정의하는 방법이고) 근데 그게 행렬식 계산 방법이랑 연결이 안 되지 않나요?(유도하기 너무 어렵) sign sigma를 이용해서 정의하는 게 더 낫고 그러면 유도는 하기 편한데 그것 역시 배경지식이 필요함
ㄴ 혹시 그 방법도 설명해주실 수 있을까요? 천천히 읽어보면서 모르는 부분은 공부해올게요..
오늘 시간 많아요.. 내일 수학시간에 발표하는거라 행렬 열심히 공부해보겠습니다
제가 진짜 설명해주고 싶은데 어디부터 할 지를 모르겠네요