[중고딩문제] 이거고딩과정으로풀수잇음? 유리수,무리수 연속 논제

[익명(118.235)]

- dc official App

[익명(61.84)]

ㅇㅇ

[익명(118.235)]

how? - dc App

[익명(61.84)]

중간값 정리

[익명(118.235)]

각점에서 연속임은 어떻게보임? 샌드위치로 증명할수도없을거같은데 - dc App

[익명(61.84)]

저런 함수가 존재하지 않음을 중간값 정리로 보이라는 말임. 중감값 정리로 [0,1]에서 자기 자신으로 가는 연속람수는 반드시 고정점 (f(x) = x 인 점)을 가져야 한다는걸 보이면 됨.

[익명(118.235)]

ㅇㅎ 그렇구만 그럼 만약 공역이 실수전체로 돼버리면 존재할수잇어질까? - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

아 그러네. fixed point로 푸는게 더 쉽고 고딩수학으로도 보일수도 있겠네

[익명(118.235)]

아 공역이실수전체일땐 아래댓글을이용해야겟네 - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

실수전체인 경우엔 내 풀이로 보일 수 있을 듯.

[유사수학자(lonelymath)]

공역이 실수전체더라도 똑같이 중간값 정리 써줘도 됨. g(x) = f(x) - (ax + b)을 두고, 부등식 f(0) > b, f(1) < a + b 를 만족하게끔 하는 0이 아닌 유리수 a,b를 잡을수 있다. 그렇다면 g(0) > 0, g(1) < 0이므로 g(t) = 0을 만족하는 t가 (0,1) 위에서 존재하게 되는데, t가 유리수/무리수일때 각각 모순이 됨을 보이면 됨.

[익명(118.235)]

ㅇㅎ그러노 - dc App

[익명(175.223)]

이게 고딩수준에서는 제일 정석적인 증명인듯

[pseudo(kimbabsa)]

고딩과정으로 푸는건 모르겠는데 존재할 수 없겠는데. 일단 이 함수가 존재한다면 상수함수일수는 없음. 따라서 [0,1]내의 어떤 x,y에 대해 f(x) != f(y)임. f가 연속이므로 중간값 정리에 의해 f(x)와 f(y)사이의 임의의 무리수 a에 대해 f(r)=a인 유리수 r이 x와 y사이에 존재해야함.

[pseudo(kimbabsa)]

근데 x와 y사이의 유리수의 집합은 f(x)와 f(y)사이의 무리수 집합보다 cardinality가 작으므로 이는 불가능함. 따라서 그런 f는 존재할 수 없음

[익명(118.235)]

이렇게해결할수도있구낭 근데 고딩과정으로도풀리네요 - dc App

[익명(118.235)]

이건 공역이실수전체일때도 사용가능한 논리인듯 - dc App