[대학교이상] 뭔가 지금 단단히 잘못 생각하고 있는데 봐주세요(음함수미분법)

[o o(14.38)]

스튜어트 미분적분학에서 다변수함수의 chain rule과 음함수의 미분법 파트 보고있는데,

F가 미분가능하고 F(x, y) = 0 일 때, 양변을 x로 (상)미분하면 dF/dx = 0 이 된다는 사실을 이용하더라고요.

마찬가지로 양변을 x로 편미분하면 round dF/round dx = 0 이 될 것 같은데, 그러면 큰일이 날 것 같다는 기분이 들어요.

뭐가 잘못된 걸까요?

[5둥리카일렝이(lillollool)]

x로 상 미분 하는건 좌변을 y=y(x)인 x에대한 함수로 봐서 x를 (x,y(x))로 보내는 벡터값 함수와 2변수함수 F의 합성함수로, 우변을 x에대한 상수함수로 보는거고 x로 편 미분 하는건 좌변을 x,y에대한 2변수함수로, 우변을 x,y에대한 상수 이변수함수로 보는거에요 편미분 해도 역시 aF/ax=0이 나오는게 맞음

[익명(14.38)]

? 편미분했을 때 0이 나오면 음함수미분법이 성립하지가 않는데요?

[5둥리카일렝이(lillollool)]

중간에 착각했어요ㅈㅅ.. 윗댓 뒷부분 적을때 생각한 상황은 예를들어 R²상의 열린집합내의 모든 (x,y)에대해 F(x,y)=0인 그런걸 생각하고 적었는데 말씀대로 음함수미분 하려는 상황이랑은 맞지않네요

[5둥리카일렝이(lillollool)]

다시 본문의 상황에 맞게 수정하면

[5둥리카일렝이(lillollool)]

F(x,y)=0를 만족하는 (x,y)를 모은 집합이 만약 그 집합 내의 (x,y)에 대하여 충분히 작은 0이아닌 모든 h에 대해 (x+h,y)를 포함한다면 F(x,y)=0의 양변을 x로 편미분할수있게되고 aF/ax=0이 성립하게 되지만 일반적으로 F(x,y)=0을 만족하는 집합이 그렇게 생기지 않아서 양변을 편미분 할수없는거에요

[5둥리카일렝이(lillollool)]

간단히 F(x,y)=0이라 한들 F(x+h,y)=0인지는 모르고 따라서 lim(h->0) (F(x+h,y)-F(x,y))/h=lim(h->0) (0-0)/h=0 같은 이야기가 불가능하다고 생각하면 될것같아요

[5둥리카일렝이(lillollool)]

F(x,y)=0의 양변을 x로 편미분 해서 aF/ax=0을 얻는다는것이 F(x,y)=0,F(x+h,y)=0이 성립하고 이로부터 lim(h->0) (F(x+h,y)-F(x,y))/h=lim(h->0) (0-0)/h=0 이 성립하는것을 의미하는거라

[o o(14.38)]

아 일변수함수로 따지면 "수열은 왜 미분할 수 없죠?" 같은 맥락의 질문이었군요.

[o o(14.38)]

감사합니다. 이해했어요. 일반적으로 음함수 F(x, y) = 0을 논할 때, 해당 수식을 만족하는 (x0, y0) 튜플을 포함한 (x축에 평행한) 열린구간 내의 모든 점에 대해서도 F(x, y) = 0이 성립한다고 기대할 수는 없기 때문에 편미분할 수가 없네요.