[일반] 밑에 베트남 풀이 수갤에도 올라왓는데

[익명(106.102)]

고딩과정으로도 풀리네 시벌 천제냐

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[ALTa(tladud123)]

근데 이건 답을 알고(f' = 7x^3) 풀이를 거기에 짜맞춰서 푸는거라 그렇게 좋은 풀이는 아닌것 같음

[ALTa(tladud123)]

적분식이 주어졌을 때 inf (f - g)^2 = 0 이면 f = g 임을 이용해서 푸는 풀이는 꽤 있지만 f가 상수함수나 일차식이어야 추론할만하지 4차식이면...

[익명(218.155)]

저 두 번째 줄 풀이를 생각하기가 더 어려울 것 같은데...

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[익명(211.187)]

점프 불연속이 있어도 제곱의 합이 0이 되려면 전부 0이어야 하지 않음?

[익명(1.226)]

a.e. 에서 0이 되면 적분 값은 0임. 그래서 a.e에서 f'(x)=-7x^3 인거기만 하면 됨.

[익명(1.226)]

근데 f(x)가 미분가능한 함수기 때문에 그 이후는 모르겠음

[유사수학자(lonelymath)]

f가 모든점에서 미분가능하고 연속함수 g에 대해서 f'=g a.e.이면 모든 점에서 f'=g가 되니까, f'(x) = -7x^3 a.e.이면 f'(x) = -7x^3임. 여기서 f가 모든점에서 미분가능하다는 사실이 중요함. (cantor function같은 예시를 생각하면)

[익명(1.226)]

아 들어보니까 그런 내용 있었던것 같음

[유사수학자(lonelymath)]

위 사실은 별게 아니라 그냥 FTC 쓰면 나오는 결과임. f'=g a.e.이고 g가 연속이니까 f'의 불연속점의 집합은 measure zero라서 f'는 리만적분가능하고 따라서 FTC 2로부터 f'를 [a,x] 위에서 적분하면 f(x)-f(a)를 얻고, 한편 이건 g를 [a,x]에서 적분한 값인데 g가 연속함수니까 적분값 f(x)-f(a)를 미분한게 g가 나와야하니, 결국 모든 점에서 f'(x)=g(x).

[익명(1.226)]

FTC의 조건이 f'가 리만적분 가능인거?

[유사수학자(lonelymath)]

f'가 [a,b]에서 리만적분 가능할면 [a,x]에서 리만적분 가능하고, 따라서 임의의 partition a = x_0 < x_1 < ... < x_k = x에 대해서 평균값 정리를 사용하면 f(x) - f(a) = ∑(f(x_i) - f(x_{i-1})) = ∑f'(c_i) (x_i - x_{i-1})를 얻게 되는데 (여기서 c_i는 (x_{i-1} , x_i) 위의 어떤 점), f'가 [a,x]에서 리만적분 가능하므로 이 partition의 mesh를 충분히 작게 만들면 ∑f'(c_i) (x_i - x_{i-1})를 f'의 [a,x] 위의 리만적분값으로 수렴시킬 수 있음. 근데 이 값은 f(x)-f(a)로 고정되어있으니까, f'의 [a,x]의 적분값과 이 값이 일치해야한다는 사실을 얻게됨.

[유사수학자(lonelymath)]

이게 FTC 2이고, 학부 기초해석학 시간에 적분을 다루면서 처음 배우게 되는 정리 중 하나임. 다른 하나(FTC 1)는 연속함수 f가 주어졌을때, 임의의 x in [a,b]에 대해서 f를 [a,x]에서 적분한 함수를 F(x)라 하면, 임의의 x in (a,b)에 대해서 F는 미분가능하고 F'(x)=f(x)를 만족한다는 정리.

[유사수학자(lonelymath)]

위의 논증에 의해서 학부 기초해석학 수준에서는 모든 점에서 f'(x) = -7x^3이라고 결론내릴수 있지만, 고교 범위에서는 (리만)적분이 어떻게 엄밀하게 정의되는지에 대한 제대로된 언급이 없으니 아마도 불가능할거라 봄.

[익명(1.226)]

ㅇㅎ 이해했음 ㄱㅅㄱㅅ

[익명(1.226)]

해석학 수업 들을때는 수업도 안 듣고 걍 시험 며칠전에 보고 셤 치고 그 이후로 내용을 보지를 않아서 제 머릿속에서 다 사라졌네요. ㄱㅅㄱㅅ

[익명(1.226)]

애초에 머릿속에 안 넣은 내용일수도 있고.. ㅋㅋㅋ

[익명(1.226)]

해석학이 딱 저런 논리던데 ㅋㅋ 시발 이렇게 잡으시면 마법 같이 풀립니다~ 내가 시험장에서 그걸 어떻게 떠올리냐고 싯팔