[대학교이상] Free Module 질문

[익명(165.229)]

A가 F(A)의 부분집합이 되는게 맞긴한거야? 맞으면 왜 그렇게 되는거야?

그리고 F(A)가 A에 의해 생성된다는건 어떻게 보이는거야? 뭐 중간에 설명은 되어있던데 아무리봐도 이해가 안가네 이게

그리고 F(A)는 왜 free R-module이 되는거야?

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[TQFT(lemonkx)]

1. A의 원소가 직접적으로 F(A)의 원소가 되는게 아니고, A의 원소 a마다 f_a라는 F(A)의 원소를 일대일대응시킴. 두번째 이미지의 Identify라는 것이 이것을 말함. A가 집합론적으로 F(A)의 부분집합이라는게 아니고, F(A)의 부분집합 중에 A와 구조적으로 동등한 것이 있다는 것.

[TQFT(lemonkx)]

2. 증명에서 구성적으로 정의한 F(A)라는 R-module이 free R-module on A이 됨을 보이기 위해선, F(A)의 임의의 원소가 A의 원소들(정확하겐 위에서 말한대로 f_a들)의 유한 R-선형 결합으로 유일하게 나타내어짐을 보여야함. 마치 선형대수에서 벡터공간의 각 원소가 basis의 finite linear combination으로 유일하게 나타내어짐과 유사함. 애초에 R이 field일 때 free R-module이 바로 R-vector space임.

[TQFT(lemonkx)]

3번은... 왜 물어본건지 잘 모르겠지만 내가 2번에서 답한 내용이면 충분할거라고 생각함.

[익명(118.235)]

저번에 질문했을때 일대일대응 잡아서 F(A)의 부분집합에 대응 시키는거라고 했었는데 그게 맞았네 그니까 각 a in A에 대해 f_a를 모은 F(A)의 부분집합 X랑 A사이에 일대일 대응이 존재하는걸 저기선 identify한다고 표현한거지? - dc App

[익명(118.235)]

그리고 두 번째 질문은 내가 위에서 말한 X에 대해 F(A)=RX임을 보이면 된다는거네? 그 표현이 유일한거는 또 따로 보이긴 해야하겠지만은 - dc App