|f(f(x))|가 미분 불가능 ⇔ f(f(x))=0인 점, 즉 f(x)=1인 점에서 f'(f(x))f'(x)가 0이 아님

따라서 (나) 조건 ⇔ f(x)=1이고 f'(1)f'(x)가 0이 아닌 경우는 x=2뿐임

여기서 알 수 있는 정보:

1. f(2)=1 이고 f'(2)≠0

2. f(x)=1인 점들이 더 존재한다면, 그 점들에선 모두 f'(x)=0


경우1) x=a>2에서 y=1에 접함

f(x)=(x-a)^2(x-2)+1

f(1)=-(a-1)^2+1=0

(a-1)^2=1

a=2 또는 a=0 -> 모순


경우2) x=a<2에서 접함

같은 방법 -> 모순


⇒ 2에서 언급된 점은 존재하지 않음


따라서 f(x)는 x=1에서만 y=0과 만나고, x=2에서만 y=1과 만나며 f'(1)f'(2)≠0임

f(x)=(x-1)(x^2+ax+b)로 잡으면

1) y=0과 x=1에서만 만나므로 a^2-4b<0

2) y=1과 만나는 점의 개수를 세려면 f(x)-1이 y=0과 만나는 점의 개수를 판별하면 됨

f(x)-1=x^3+(a-1)x^2+(b-a)x-b-1

=(x-2)(x^2+px+q)=x^3+(p-2)x^2+(q-2p)x-2q

계수 비교하면 p=a+1, q=b+1/2, b-4a-3/2=b-a

b-4a-3=2b-2a, b=-2a-3, q=-a-1

(x-2)(x^2+px+q)가 y=0과 x=2에서만 만나야 하므로 판별식 p^2-4q<0임


1)과 2)의 조건을 합치면


-> a^2-4b=a^2+8a+12=(a+2)(a+6)<0

p^2-4q=(a+1)^2-4(-a-1)=a^2+6a+5=(a+1)(a+5)<0

-> -6<a<-2, -5<a<-1

-> -5<a<-2

f(4)=3(4a+b+16)=3(2a+13)=6a+39

-> 9<f(4)<27

10~26 해서 답은 17개

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