시간이 없고 피곤한데 딴짓은 하고 싶어서 대충 반사적으로 튀어나오는 것 몇 개만.
당연히 내용이 매우 부실함. 누군가 수정, 교정해주던가 보충해주겠지.

(1) aba^-1b^-1들로 quotient하면 주어진 group에 가장 \'근접\'한 abelian group을 얻을 수 있으니까. 복잡하고 추상적이고 어려운 거 좋아하는 수학자는 생각보다도 더 적다.

(2) g^-1xg=x 이면 xg=gx로 commutative한데 일반적으로 그럴 이유는 없지. Group action을 공부할때는 언제나 orbit과 stabilizer가 어떻게 생겨먹었는지를 생각해보면 도움이 된다. 얼마나 commutative한 지를 보는 이유는 간단하다. Abelian group이 좋고 쉬운 애고 아닌 애는 어려우니까, nonabelian인 경우에도 얼마나 abelian한지 관찰하고 싶지.

(3) 엮을 수는 있을 것 같은데 딱히 자연스러운 아이디어는 모르겠음. 다른 motivation에서 나온 개념으로 기억함.

(4) Group에서의 automorphism은 대칭성에 대한 정보를 주기도 한다만, 일반적으로도 automorphism은 매우 중요하게 공부되는 대상이니 사족을 달아봄.

모듈라이의 개념을 대충 알면 좋음. 대수든 기하든 위상이든, 수학자들이 특정한 구조를 공부할 때 가장 궁극적인 짙문은 그러한 구조의 분류 문제임. 즉 구조들에 대응되는, 혹은 구조들을 함유하는 parameter space를 공부해야 하고, 동등한 구조 (주로 isomorphism)는 같은 원소로 간주하고 싶어함. 대충 이야기하자면 매개변수 공간의 적절한 quotient space 같은 느낌이 되는데, 많은 경우에 (적절한 조작을 거치면) 이 친구도 특정한 수학적 구조를 가짐. 그 과정에서 automorphism들을 다 나눠줘야 한다. 주로 나쁜 orbit은 automorphism이 많은 애들. 그래도 다른 방향에서 보자면 그만큼 대칭성이 많은 애니 자체적으로 재미있는 구조를 갖고 있겠지.

(5,6) 어떤 맥락에서 한 질문인지 모르겠음.

(7) 수학적 구조를 정의하고 대응되는 카테고리를 잘 구성하고 나면, relative case, 즉 대상들 사이의 (local) morphism에 대해 관심을 가지게 되는 것은 꽤나 자연스러움. Group을 공부하면 group homomorphism, 벡터공간을 공부하면 선형사상을 배우듯. Dual space도 이 관점에서 벗어나지 않고, Functor of points 같은 개념도 크게 보면 들어맞는다고 할 수 있겠지.

Dual space는 그 중에서도 가장 쉽고 자연스러운 친구인데... 간단히 예를 들어보자. 2차원 실 벡터공간의 원소를 하나 생각해보자. 2차원 벡터공간이라 하면 좌표평면의 추상화라고 할 수 있을테니, 이 원소를 (a, b)라는 실수의 쌍으로 표현하는건 이상하지 않을 것이다. 그럼 a, b는 대체 어떻게 튀어나온 것인지? 이는 우리가 편의상 적당한 \"좌표계\" 를 설정하여, coordinate function x, y 를 선택하였기 때문이다. 즉, x(a, b)=a, y(a, b)=b가 되는 적당한 함수 x, y를 택한 것이다. 덤으로 dual basis에 대한 설명도 조금은 담겨있다고 생각한다.

이런 벡터공간 위에 존재하는 좋은 함수 (linear functional)들을 모아둔 공간이 벡터공간의 듀얼공간. 이렇듯 특정한 구조를 공부하기 위해 그 위에 살고 있는 함수 (주어진 구조를 망가뜨리지 않는) 를 공부하는 일은 세부 분야를 막론하고 매우 빈번하다. 가끔은 더 복잡한 구조를 위에 올려놓고 공부하기도 하는데 (어떤 추가적 구조물을 올릴 수 있는지, 그 구조물은 어떻게 생겼는지, 좋은 분류가 가능한지 등을 통해 원래 수학적 대상의 정보를 역으로 얻어내는 꽤나 사서 개고생하는 것처럼 보이지만 매우 효율적인 방법론), 위상수학이나 기하학에서 많이들 공부하는 벡터 번들, 파이버 번들, sheaf 등이 대표적인 예제다.

좋은 비유는 아니지만... 얼굴에 난 뾰루지는 시력이 아무리 좋아도 거울에 비춰보기 전까지는 눈에 안 보이듯... 다른 무언가를 끌어와서 써보고 비춰도 보고 씹뜯맛즐 해보면서 사골 골수까지 쪽쪽 빨아먹는게 수학자들이 평소에 하는 일들이다.

듀얼 공간은 그 간단한 정의 외에도 duality 라고 불리는 아름다운 대칭성을 찾을 수 있는 경우가 왕왕 많으니 원래 공간과 비교해보면서 찾아보면 재미있을 것 같다.