최대한 이해해보려고 계속 혼자서 봣는데요
임의의 양수 e에 대하여 자연수 k가 존재하고 n>=k일때
ㅣXn-xㅣ
x의 앱실론 근방(x-e,x+e)에 항상 대응되는 자연수 k가 존재해서
수열 Xn의 k+1번째항,k+2번째항,....이 전부 앱실론 근방에 들어가면
극한x에 수렴한다고 할수잇다는 거로 이해햇고
임의의 양수 e에 대하여 자연수 k가 존재해서
n>=k일때 ㅣXn-xㅣ
결국 n>=k라는 조건이 ㅣXn-xㅣ
Xn의 극한값이 x임을 증명할 수 있다.라고 결론 내렸는데 맞나요?
입실론 델타 논법이라는것이 극한의 엄밀한 정의이기때문에 극한값을 저렇게 "정의" 된 것이니
여기에 아니 왜 입실론보다 작으면 x에수렴해?라고 따지는건 의미가 없는거죠?
이렇게 받아들이면 될 지 궁금해서 질문드려요
내가 봤을 땐 다 똑같은 말 같은데
Xn이 x로 수렴한다는 건, n이 존나 크면, Xn이 x랑 가깝다는 것. ‘가깝다’릉 표현하려면 ‘거리’라는 개념이 도입되야함. |Xn-x|가 바로 둘 사이의 거리. 이게 작아야 가깝겠지. 저 ε-Ν 정의가 말하는 바는 다음과 같아
야? Χn, 니가 그렇게 x랑 가깝냐?? 어디 한 번 나랑 대결을 해보자. 내가 양수주머니에서 아무거나 꺼내서 너한테 가져왔을 때. |Xn-x|가 언제부턴가 그 양수보다 무조건 작다는 걸 보이면 내가 ㅇㅈ함
이 대결에서 이기면 Xn -> x 인거 ㅇㅈ하자. 이게 바로 정의가 말하는 바임
우리는 정의가 그럴듯하다고 생각하고 받아들이는 거지 근데 걍 별로 고민할게 아닌게 좀만 생각해보면 ε-Ν정의는 ‘n이 충분히 크면, xn이 x에 가깝다’라는 직관적인 statement를 수학적 언어로 풀어쓴거에 불과하다는 걸 알 수 있어 ㅎㅎ