님이 제목에 쓴 명제(=교과서에 나와있는 명제)는 양화사를 이용해 완전하게 서술하면
∀x, ∀a [ if ∀e>0 (|x-a|<e) ⇒ then x=a ]
이겁니다.
반면, 질문글의 마지막에 님이 '엡실론 델타처럼 x를 e에 대한 함수라고 바라볼 수도 있는거 아니냐?' 라고 물어본 건, 그런 방식으로 바라보려면 위의 명제랑 완전히 다른 아래와 같은 명제가 되어야 해요.
∀e>0, ∃x s.t. ( |x-a|<e )
이 명제도 물론 첫번째 명제처럼 참입니다. 그리고 이 때는 님 말대로 굳이 x가 a 일 필요도 없습니다.
그런데 위의 명제와 아래의 명제는 서로 완전히 다른 명제에요. 두번째는 이 세상의 모든 e에 대해서 그에 대응되는 x가 존재한다, 라는 거고, 첫번째는 어떤 x가 존재하는데, 그 x는 e가 어떤 값이 되건 ~~가 참이다 라는 겁니다
또다른 예시를 들어보면 '실수의 덧셈의 역원이 존재한다'라는 명제랑 '실수의 덧셈의 항등원의 존재한다' 라는 명제도 각각 양화사를 이용해 서술해보시면 ∃와 ∀의 순서가 서로 반대라는 걸 확인할 수 있으실 겁니다. 그런 차이라고 생각하시면 될듯 합니다.
교과서에서 의도한것도 x에 대해 universal quantification 이 걸려있는거에요 if ∃x s.t. { ∀e>0 ( |x-a|
아 댓글에서 자꾸 식이 짤리네 아 귀찮
formula 틀렸다.
"알던 대로" 쓰고 x와 a의 universal closure를 취해 보셈
본문 첫번째 명제 바꿨는데 혹시 확인해주실 수 있을까요?
틀림.
for all x and for all a, if |x-a|<e for all e>0, then x=a. 이거 양화사 범위 잘 따져서 바꿔주면 되는데 uniquely exists는 왜나오고, 오른쪽 x는 왜 free variable인데.
아아 맞네요 그러면 질문한 사람한텐 어떻게 설명해야할지ㅜㅜ
하여튼 본문에 나온식으로 해석하면 앞에 나온 x는 bound variable이 되고 뒤에 나온 x는 free varaible이 되는데 둘은 같은 x여야하는데 그건 좀 이상하지않나요
너무 감사한데요, 아직 잘 이해가 안 가요 ㅠㅠ ∃x 와 ∀e 의 순서에 따른 차이를 좀 설명해 주실 수 있을까요?
∀x, P 는 그냥 For all x, P is true 줄여서 쓴거고, ∃x, P는 그냥 There exist x such that P is true 를 줄여서 쓴거라고 생각하시면 좀 더 편할 것 같아요
그러니까 '∃x, ∀e, ~~' 는 '어떤 x가 존재한다. 그런데 이게 어떤 x인가 하면, 이 세상의 모든 e에 대해 ~~~ 가 참인 그러한 x이다.' 입니다. 반면 '∀e, ∃x, ~~' 는 '이 세상의 모든 각각의 e에 대하여, ~~가 참인 x가 존재한다. 즉, e가 어떤 값이 되건, 그 e에 대응되 어떤 x가 존재한다. ' 입니다.
아!!! 감사합니다!!!
'∃x, ∀e, ~~' 는 '어떤 x가 존재한다. 그런데 이 x는, e가 1일 때도 ~~를 참으로 만들고, e가 2일 때도 ~~를 참으로 만들고, e가 3일 때도 ~~를 참으로 만들고, e가 4일 때도 ~~를 참으로 만들고,.. (무한반복)그런 엄청난 x다.' 라는 의미입니다.