f(x)=(x^2 -2x +2)e^x
f'(x)=x^2*e^x
f''(x)=(x^2 +2x)e^x
에서 f의 역함수를 F라 하면
g(f(x))=f'(x)
h(x)=F(x)g(x)
여기서 h'(e)를 구하는 문제인데
기본 풀이법은
저 h 항등식에 x=f(x)를 합성해서
h(f(x))=xg(f(x))=xf'(x)
f'(x)h'(f(x))=f'(x)+xf''(x)
f(x)는 역함수를 가지므로 증가 혹은 감소만 한다
따라서 f(x)=e인 x는 1밖에 없으므로
f'(1)h'(e)=e+3e=4e=eh'(e)
h'(e)=4 로 끝나는 문제인데
나는 x=f(x) 합성을 안 하고 그냥 미분해서
h'(x)=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)
g(f(x))=f'(x)
f'(x)g'(f(x))=f''(x)
마찬가지로 f(1)=f'(1)=e 이므로
g(e)=f'(1)=e
eg'(e)=3e, g'(e)=3
따라서 h'(e)=1*e + 1*3 = e+3
원래 답이랑 너무 다른데 어디서 잘못된 건지 모르겠음
도함수의 역함수는 그냥 도함수에서 바로 직접적으로 구하는 게 아닌 건가?
F'(e)가 왜 1임? F'(f(x))f'(x) = 1이고, F'(f(1))=1/f(1)=1/e 인데
*1/f'(1)
아 역함수의 도함수로 봐야했구나 그런데 왜 반대로 도함수의 역함수로 직접 보면 안 되는 거임?? 왜 그냥 f' 을 하나의 개별 함수로 인지하고 F'을 f' 의 역함수로 따로 보면 안 되는지 궁금함
도함수는 미분 과정 자체에서 이미 f의 변화량의 극한이란 게 쓰였기 때문에 그 자체의 역을 취한다 해도 실제 역함수 f-1의 변화량과 대응되지 않음 반례는 x > 0에서 x^2의 역함수는 sqrt(x)고, x^2의 도함수는 2x고 이것의 역함수는 x/2지만, sqrt(x)의 도함수는 1/2sqrt(x)임
아하 직접 반례도 들어봤는데 그렇네 그러면 도함수의 역함수라는 건 사실상 다루지 않는 주제로 보면 되려나 아니더라도 적어도 고등 교육 과정에서는 역함수의 도함수 내용이랑 상충되니 신경 안 써도 될 것 같네 답변 고마워