실수의 진부분집합이 어떤 경우에 완비성을 만족하는거지? 필요충분조건을 알고싶은데

우선 유리수를 생각하면 이게 완비성을 만족하지 않음은 증명되어 있지. 루트2를 상한으로 가지는 유리수의 부분집합을 생각할 수 있고 루트2는 유리수의 원소가 아니니까...이건 데데킨트컷을 이용해서도 보일 수 있다고 알고있음

그다음 무리수를 생각하면.. 유리수와 마찬가지로 얘도 완비가 아니겠지

그러면 구간이어야 한다는 추측을 할 수 있는데 (a,b)이런 구간을 잡으면 얘 상한이 b자나? 근데 b는 (a,b)의 원소가 아니니까 얘도 완비가 아니야.. 그러면 a와 b만 저 구간에 넣으면 [a,b] 이렇게 되는데

그러면 실수의 진부분집합이 완비성을 만족할 필요충분조건은 실수의 부분집합이 [a,b] 또는 [a, 무한대] 또는 [-무한대, b]인 구간인 건가?