추측 2


추측 2는 <figure 7>을 이용하여 증명하겠습니다. bk의 임의 원소를 아래 그림과 같이 잡고 규칙을 적용합니다. 이때 빨간색 박스를 규칙이 적용되도록 잡습니다. 만약 bk의 원소에서 맨쪽의 돌 왼쪽이나 오른쪽에 규칙을 적용할 경우 맨왼쪽의 원소를 제외하고 빨간색 박스를 잡습니다. 이 경우 ak-1에 1대1 대응이 생기고 bk와 동일한 위치에 ak-1도 규칙을 적용하면 ak 와 bk+1에서 왼쪽돌을 제외한 빨간색 박스가 일치해 집니다. bk+1은 bk에서 나오고 임의의 bk를 잡았음으로 bk+1마다 bk와 1대1 대응된 ak-1에서 bk+1과 1대1 대응되는 ak가 나옴으로 이는 n=k+1의 경우에서도 성립합니다. 따라서 모든 k의 경우에 있어서 bk와 ak-1은 1대1 대응합니다.



<figure 7>


추측3


<figure 8>에서 규칙 1,2의 의미는 그 자리에 규칙이 적용됬다 표시하기 위해 1,2라는 이름을 붙이었습니다. 먼저 ak+1과 bk+1이 교집합 있다 가정하고 그 교집합의 원소를 드드는 원소 bk를 <figure 8> 과 같이 잡습니다. 즉 bk에 규칙2를 적용하면n=k+1일 때 교집합이 생성됩니다. 규칙을 적용하면 무조건 흰돌이 생김으로 bk를 만드는 bk-1의 원소는 bk에서 흰돌을 제거하고 그 주위의 돌의 색깍을 반전시키면 됩니다.(물론 맨밑의 돌은 처음 2개돌에 있던 돌임으로 역방향으로 규칙적용을 할때 제거 대상에서 제외됩니다.) 만약 ak가 bk에서 bk+1로 변할때 규칙2로 인해 색깔이 흰색깔로 바뀐 것이 아닌 원래부터 bk에서 흰색돌이 었던 돌을 bk+1에서 제거함으로서 역방향 규칙을 적용하면 <figure 8>과 같이 ak가 생깁니다. 그리고 bk에서 bk-1로 역뱡향으로 할때 규칙1에 있던 것을 제거함으로 역방향을 하면 이는 bk-1의 원소가 됩니다. 만약 ak-1의 원소이면 n=2부터 k까지 an과 bn의 교집합은 공집합이다라는 가정에 모순이 됩니다. 따라서 <figure 8>과 같이 bk-1의 원소가 생기는데 이는 규칙2를 적용함으로서 ak가 생기게 됩니다. 즉 bk-1에서 규칙 1,2순으로 적용하면 bk -> bk+1로 가고 규칙2,1순으로 적용하면 ak -> bk+1로갑니다. 이는 ak와 bk에 교집합이 생겨 가정에 모순이 생깁니다. 따라서 ak+1 과 bk+1에 교집합이 생긴다면 역방향으로 ak로 만들시 규칙2로 인해 흰색깔로 바뀐 것을 제거함으로 역방향을 제거해야 <figure 8>같은 모순이 생기지 않습니다.


<figure 8>


따라서 규칙2로 인해 흰 색깔로 바뀌는 경우는 검은돌과 흰돌사이 또는 검은돌과 검은돌 사이에 규칙이 들어가야됨으로 다음과 같이 5가지가 있습니다.

(?는 색깔을 모른다는 뜻이고 ?' 은 색깔이 반전되었다는 뜻입니다.)


<figure 9>

<figure 10> case 1의 경우로 bk+1 과 ak+1사이에 교집합이 있다 가정하고 bk에 규칙을 적용하여 교집합의 원소를 생성하고 규칙으로 인해 생긴 흰돌을 역규칙으로 제거하여 ak를 만든뒤 역규칙을 2번 더하여 ak-1 에서 ak-2까지 바꿉니다. 여기서 ak-1,ak-2로 역규칙이 성립하는 이유는 만약 이 원소들이 bk-1,bk-2에 들어간다면 an 교집합 bn = 공집합 for n=2~k라는 가정에 모순이 생깁니다. ak-2까지 역규칙으로 만들고 다시 2번 규칙을 하면 bk가 나와 an 교집합 bn 이 공집합이라는 사실에 모순이 생깁니다. 이러한 식으로 나머지 case2,case3,case4를 다 증명하였으며 case5의 경우 case1,2,3,4 부분에서 한쪽이 흰돌을 검은돌로 바꾸어 생각하는 것과 동일하여 case 1,2,3,4를 증명하는 것만으로도 증명이되며 따라서 모든 경우에 모순이 생겨 n=k+1일때는 an 교지합 bn이 공집합이 될 수 밖에 없습니다. 따라서 처음 검은색 돌 2개인 원배열에 규칙을 한번 적용하면 흰돌 3개인 원배열이 되는데 전 글에서 3번의 적용으로 그 사이 돌 3개를 늘릴 수 있습니다. 따라서 n=3k인 경우 bn에서는 원순열이 생겨 an 과 bn의 교집합은 공집합임으로 an에는 흰색돌로만 이루어진 원순열이 존재하지 않고 이것과 동치인 n=3k-1꼴인 흰색돌로 이루어져 봉으로 된 그래프는 존재하지 않게 됩니다. 따라서 이문제는 필요충분 조건은 n=3k,3k+1 for k=0,1,2,....일 때입니다.


p.s 추측3의 증명과정에서 case구성에서 규칙이 박스의 제일 끝돌에서 왼쪽or 오른쪽으로 정하여 bk+1을 생성하는 경우를 넣지 못했습니다.  처음 시작했던 돌을 뺄수 있는 경우의 수가 있어 엄밀히 증명하여 하지만  결국에는 아마도 case4처럼 증명될 것 같습니다. 감사합니다.

<figure 10>



<figure 11>



<figure 12>


<figure 12>