일단 당연히 참이 아닌 걸 알고 있음. 

Q는 countable set이니까 수열로 나타낼 수 있고, k-th element를 중심으로 하는 반지름 e/2^k ball들을 생각하면, 그 ball들 길이를 다 합쳐봐야 2e. 


근데 얼핏 생각해보면 이런 논리가 그럴듯 해보임 

1. Q를 갖는 open set은 정의상 임의의 유리수 q에 대해 q의 적절한 근방(ball)을 포함하니까

2. Q를 덮는 open cover는 Q 근처의 수를 포함하고 

3. Q는 R에서 dense하니까

4. 모든 실수(무리수)는 임의의 근방 안에 유리수가 존재함 

=> 따라서 Q의 open cover는 R도 덮는다


해석개론 수업때 이런 질문이 나왔었는데 교수님도 바로 답변 못하시고 넘어갔던 기억이 남

분명 1,2,3,4는 사실이고 결론이 거짓이니까 당연히 =>가 틀린게 됨


=> 부분의 오류

무리수 하나 뽑아놓고 생각했을 때, 가까이에 있는 유리수 아무거나 뽑아보면 (각각 r, q)

Q의 open cover는 분명 그 유리수 q의 어떤 근방, ball을 포함하고 있음

그러나 그 ball의 반지름이 |r-q| 보다 클 이유가 없음.


아주 당연하고 뻔한 소리지만 자칫 착각의 늪에 빠지기 쉬운 내용인 것 같아서 써봄