선대


1번 Orthogonal complement 관련 문제. 무난했음. 계산 약간 지저분함.


2번 대각화를 물어보는 문제. 계산에서 털린 사람이 많은 듯. 처음에 고유값이 루트(-5)가 나와서 엄청 당황함. 

정확히 기억은 안 나는데 고유값이 -1,1,2고 -1에서 고유벡터가 2개 나왔던 것 같음. 대각화를 하고 나면 극한 계산은 어렵지 않음.


뭔가 전반적으로 계산을 많이 요구했던 것 같다. 웬만하면 invariant factor나 jordan form이 나올 줄 알았는데 아니어서 의외였음.



해석


1-1번 처음에 딱 보고 물음표 500개 정도 띄운 것 같음. 지구...? Lattitude...? Longitude...? 혼잣말로 이게 뭐야..? 했었는데 들은 사람 있을 수도. 자세히 읽어보니 그냥 Chain rule이었음. 오늘 문제 중에 가장 쉬웠다.


1-2번 x1+...+x_n이 1이고 모두 0보다 클 때 -sum(x_j * ln(x_j))이 최대가 되는 x 찾는 문제. Lagrange multiplier가 기억이 나서 그걸로 풀긴 했는데, 왜 최대인지는 증명 안하고 넘어감. 약간 깎일지도 모르겠다. 답은 전부 1/n일 때.


2-1번 이게 진짜 레전드같음. Normed vector space?? 물론 배운 적 없다고는 말할 수 없는데... 상당히 당황했다. (실해석에서 Banach space를 배운 기억 때문일지도.)

X가 finite dimensional normed vector space일 때 bounded sequence a_n이 수렴하는 subsequence를 가짐을 보이는 문제. 처음에 metric vector space 생각해서 Q^n...이 안 되지 않나..? 라고 생각했는데 norm이니까 아닐 거라고 생각했다. 대충 R^n이랑 같다고 놓고 풀긴 했는데, 정확히 R^n이랑 같은지는 잘 모르겠음. 위상적으로는 동일할 텐데, X에서 bounded iff R^n에서 bounded가 확실하지가 않다.


2-2번. X에서 finite dimensional을 제거했을 때 수렴하는 subsequence가 없는 경우를 제시하는 문제. Bounded function의 벡터공간 위에 sup(|f|)로 norm을 부여하고 f_n은 n에서만 1이고 나머지만 0인 함수로 생각했음. 어떤 사람은 L^2 space를 생각했다는데, 그 아이디어도 재밌는 것 같음.



뭔가 까다로웠다. 하나하나 뜯어보면 그렇게 어렵지는 않은 것 같은데, 생소한 문제들이 많았다. 특히 지구는 대체 누구 머리에서 나온 건지 모르겠다.




대수 1


GL_2(F_p)의 구조를 묻는 문제. 소문제 1,2는 group action을 정의해서 적당히 이것저것 다루는 문제였고 3~5는 GL_2(F_p)의 order, Sylow p-subgroup을 다루는 문제.

아마 내가 현대대수 1 배울 때 교수님이 내신 것 같은데, 그 분은 문제 사이에 뭔가 유기적인 흐름이 있는 걸 좋아하셨다.

실제로 소문제 (2)에 나오는 subgroup(stabilizer of L_0)은 소문제 (5)에서 normalizer가 됨. 그래서 n_p = p+1이다.


이번 시험에서 제일 재밌는 문제였다. 지식과 풀이 능력을 적당한 수준에서 모두 요구하는 문제라고 생각함.



대수 2


1번. z_p가 p-th primitive root of 1일 때 Q(zeta_p)/Q가 Galois임을 보이고 그 Galois group을 구하는 문제. 쉬웠다.

2번. f가 irreducible cubic일 때 discriminant를 가지고 이것저것 구하는 문제. 역시 쉬웠다.


약간 지엽적으로 나왔다고 생각했다. 이 부분을 꼼꼼히 읽었으면 거의 날먹이지만 여기까지 꼼꼼히 읽기는 쉽지 않다고 생각함.



르벡


1번 Stein Real analysis의 proposition 2.5와 동일.

2번 Stein Real analysis의 Exercise 3.1.(c)와 동일.


뜬금없이 Good Kernel과 Convolution에서 문제가 나와서 당황스러웠다. 보통은 convergence theorem이나 abstract measure에서 많이 내지 않나? 어찌저찌 기억을 되살려서 풀긴 했는데, 시간이 영 부족해서 맞게 푼 건지는 모르겠다. 



위상


이상한 quotient topology를 주고 그게 Hausdorff/connected/compact인지 보이는 문제.

대충 [-2,2]에 origin이 2개인 느낌으로 그렸는데, 어떻게 해야 엄밀하게 갈 수 있는지는 전혀 모르겠다. 애시당초에 quotient topology에서 나올 줄도 몰랐고... 

아마 not Hausdorff / connected / compact일 것 같음. connected인 건 확실하다. 



위상 풀까 복소 풀까 고민 많이 했었는데 복소 1번 적분이 꽤 어려워보여서 개소리라도 적을 수 있는 위상을 선택함. 전반적으로 시간이 꽤 부족했다. 손도 엄청 아팠고... 어쨌든 끝났으니 일주일 정도 쉬고 면접 준비해야것다. 그래도 꽤 잘 본 느낌 아니냐 이 정도면? ㅅㅅㅅ