원래 글은 https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=3984&page=1에서 볼 수 있다.


원래의 질문. 반지름이 루트3이고 원점이 O(0,0)인 원이 있을때 이 원의 지름에 해당하는 좌표(x,y)는 전부 유리수인 좌표가 포함될까여


코세가 낸 답안. (q/p)^2+(r/p)^2=3 q^2+r^2=3p^2 q와r이 (mod3)취하면 가능한 경우는 q와r모두 3의배수이어야함 q=3q' r=3r'으로 두면 3q'^2+3r'^2=p^2 또 양변에 mod3취하면 p가 3의배수라는 걸 알 수 있음 무한강하법 이용하면 없을듯??

나도 이 문제를 고등학교 2학년 교내 경시대회 때 풀었던 기억이 있다. 그리 어렵진 않은 문제다.

그 다음 질문. 반지름이 루트5인 경우에는 어떻게 되냐?

답안. 당연하지만 3인 경우에는 q^2+r^2=3p^2인 경우 q와 r이 모두 3의 배수이기 때문에 가능한 경우였다.
q^2+r^2=5p^2로 바꾸면 1^2 + 2^2 = 0 (mod 5)이므로 이 풀이가 성립하지 않고, 실제로 (1, 2)가 존재한다.

그 다음 질문. 반지름이 루트d인 경우에는 어떻게 되냐? 

답안. d=2이거나 4k+1꼴의 소수인 경우에 p는 두 제곱수의 합이다. 따라서 항상 '정수'해가 존재함을 알 수 있다.
(위키피디아 링크 : Fermat's two square theorem를 참조하시라.)

d=4k+3꼴의 소수인 경우, q^2+r^2=dp^2라는 식이 나오고, x^2 + y^2 = 0 (mod d)의 해가 없음을 보이면 된다.
하지만 이건 finite field의 이차잉여를 사용하면 너무 당연한게, x^2 = -y^2이 Z_d에서 성립해야 하는데,
d=4k+3꼴의 소수이므로 Z_d에서는 -1은 제곱수가 아니고, 좌변은 제곱수인데 우변은 제곱수가 아니게 된다.
따라서 이 식은 x = y = 0 외에는 성립할 수 없고, q^2+r^2=dp^2에서 같은 풀이를 적용하면 해가 없다.

그냥 4k+3은 안 되고 4k+1은 되는걸 당연하게 생각했는데, 궁금해할까봐 적어준다.

연관문제로, finite field의 임의의 원소는 두 제곱수의 합이라는 문제가 있음. 
대수경에도 나왔고 대수책에도 자주 나오는 문제인데, 알 사람은 다 알거고 모르는 사람은 풀어봐요.