[일반] 함수 아래에 있는 넓이를 어떻게 정의함?

[Viin(gudqls202)]

넓이의 정의가 원래 있는 거고 정적분이 넓이와 같다 라고 말하는거임, 아니면 그냥 정적분으로 넓이를 정의하는거임?

꼴이 복잡한 함수에서는 넓이를 정의할 방법이 정적분 말고는 딱히 안보이는데

어떻게 넓이를 구하는지만 배워왔는데 정작 넓이의 정의가 뭔지를 모르고 있었누..

[익명(175.223)]

역사적으로 넓이를 구하기 위한 시도가 정적분이었는데 현대적으론 measure로 더 일반적으로 넓이를 정의하고, 정적분이 잘 정의되는 경우엔 둘이 값이 같다는 걸 보일 수 있음

[Viin(gudqls202)]

measure이라는건 우리가 익히 알고 있는 잘게 쪼개기 말하는건가 수학적으로 명확한 정의는 워낙 일반적인 개념이니까 분야나 상황따라 달라지나보네

[익명(106.102)]

formal 하게 접근한다면 넓이라는 말을 잘 쓰지않음. 넓이라는건 informal 한 직관적 개념이고 이를 정적분이나 measure 등의 포멀한 개념으로 대체할수있음. 길이 역시 마찬가지임.

[Viin(gudqls202)]

내가 1학년이라 그런가 저자가 엄밀하게 설명하기보단 이해를 돕는 설명을 했나봄 정적분 설명하다가 넓이가 사실 정적분이랑 같다고 설명하길래, 아니 그럼 넓이의 정의가 뭔데?? 하고 생각하게 됨ㅋㅋㅋ

[익명(106.102)]

대학교 1학년? 미적분학 책같은건 보통 엄밀한 관점에서 쓰인 책이 아니라그럼. 정적분이 직관적으로는 넓이랑 같으니까 그렇게말한듯

[익명(180.67)]

와 진짜 ㅄ이네 ㅋㅋ 당연히 네가 알고 있는 넓이겠지 ㅄ아

[익명(121.88)]

뭘 ㅄ이야 이새낀 뭔소리하노

[캔디뜯죠(1wq1wq)]

measure 찾아봐바 - dc App

[Viin(gudqls202)]

ㄱㅅㄱㅅ

[익명(175.215)]

네가 생각하는 그 가로×세로가 맞음. 수학 역사적으로도 그렇게 사용해 왔고... 그런데 수학을 하다 보면 좀 애매한 녀석, 특이한 녀석 들이 까꿍 하고 나타날거임. 그래서 x길이×함수값 이라는 기존의 넓이를 리만 적분 이라고 부르고 새로운 넓이를 다른 이름으로 부르기 시작하고... 나중에는 그런 녀석들을 다 커버치기 위해서 measure나 그런 개념들까지

[익명(118.235)]

이새끼 또왔네; 너 계속 유동으로 수학철학, 논리 들먹이는 놈이지?

[익명(134.49)]

Apostol Calculus I 대략 80페이지 근처 보면 적분 시작하기전에 넓이라는것에 대한 고찰이 직관적으로 또한 공리적으로 쓰여있음. 몇페이지 안되니까 그거 한 번 읽어보셈.

[Viin(gudqls202)]

읽어봤는데 내가 고민하던 것에 대한 답이 된듯 ㄳㄳ 공리적으로 넓이함수를 정의하고, 공리6번으로 극한에서 squeeze theorem 비슷하게 outer step region이랑 inner step region 써서 넓이를 보이는구나

[익명(134.121)]

ㅇㅇ 전공으로 하면 더 수학적/철학적으로 들어갈수도 있겠지만, 이 정도면 공리적/집합적/개념적으로 접근하기에 딱 적당한 것 같음. 공리 5에서 사각형 넓이에 대한 계산을 정의 (이것의 의미가 무어냐고 묻게된다면 그 질문은 곧 곱셈의 의미가 무어냐고 묻는거와 동일하다고 생각), 공리 6에서 임의의 넓의를 정의...