프벅 보다가 궁금해진 건데 내적 정의가 실수나 복소수 위에서만 따지잖아요.
이전 단원들은 그냥 arbitrary field에서 논의했는데 갑자기 저렇게 제한하는 것을 보고 왜 그럴까라는 의문이 생겼습니다.
Positive definiteness를 위해 ordered field를 가정하는 건 오케이인데 complex conjugate symmetry를 넣어야하는 이유는 뭘까요?
정확히는 complex conjugate symmetry에 대한 motivation이 부족한 것 같습니다.
다른 조건을 추가하거나 제외하고 임의의 ordered field에서 내적을 정의하는 건 왜 make sense하지 않은 걸까요?
이것저것 생각하다보니 질문이 두서가 없어서 죄송합니다.
이전 단원들은 그냥 arbitrary field에서 논의했는데 갑자기 저렇게 제한하는 것을 보고 왜 그럴까라는 의문이 생겼습니다.
Positive definiteness를 위해 ordered field를 가정하는 건 오케이인데 complex conjugate symmetry를 넣어야하는 이유는 뭘까요?
정확히는 complex conjugate symmetry에 대한 motivation이 부족한 것 같습니다.
다른 조건을 추가하거나 제외하고 임의의 ordered field에서 내적을 정의하는 건 왜 make sense하지 않은 걸까요?
이것저것 생각하다보니 질문이 두서가 없어서 죄송합니다.
일단 책에서 실수나 복소수에서 정의한 것은 "복소수에서 내적이 이렇게 정의된다"보다 "복소수에서 내적을 이렇게 정의해보자"에 가깝습니다. <z,z>:=z*z 이렇게 정의하지 않아도 내적의 정의가 제시하는 3가지 조건을 만족시키는 함수는 모두 내적이라고 불릴 수 있습니다. 다만, 가장 직관적이고 일반적으로 사용하는 내적을 소개 및 도입하는 것입니다.
conjugate symmetry에 대한 motivation은 positive definiteness에 있다고 생각합니다. 복소수에서 |z|^2=z*z 라는 걸 떠올리면 될 것 같네요
다른 ordered field에서 내적을 정의하지 않는 건 make sense하지 않아서라기보다 일단 쉬운거부터 배워야하기 때문입니다
답변 감사합니다. 제가 focus를 맞춘 것은 내적의 세가지 조건 중 <x,y>와 <y,x>사이에 성립하는 conjugate symmetry입니다. 이 조건이 complex number의 subfield 위에서만 내적을 정의할 수 있게 하는 것이라 생각해서 질문드렸습니다.
|z|^2=z^*z에서 한 쪽에 conjugate를 취해주는게 타당함을 알 수 있고, 자기 자신과의 내적이 서로 다른 두 벡터의 내적으로 일관성있게 확장되려면 <x,y>에서도 x,y 둘 중 하나는 conjugate를 취해서 곱해주는게 자연스럽습니다.
그런데 이 때 둘 중 어느쪽을 conjugate하느냐에 따라 x^*y 와 xy^*의 값이 다른 문제가 발생합니다. 따라서 다시 한 쪽 결과에 conjugate 를 취한 것이 같도록 하는 conjugate symmetry 조건을 요구하는 것입니다.
답변 감사합니다. 더 공부해보겠습니다.