K: splitting field of x^p-1 over Q일때
sqrt(p) in K if p=1(mod4)
sqrt(-p) in K if p=3(mod4)
이거보이는건데(~의 원소다 이 기호 없어서 걍 in이라씀)
일단 G(K/Q)=(Z_p)^×=Z_p-1(isomorphic 없어서 이것도 걍 씀 ㅠㅠ)니까
적당한 σ에 대해 G(K/Q)=<σ>이고, sqrt(p)나 sqrt(-p)나 Q에다가 일단 추가하면 2차 extension이니까
(<σ>:부분군)=2가되는 적당한 부분군(<σ^2>가 되겟죠?)을 찾고 그녀석의 fixed field를 보는 방식으로 갈려고 했거든?
근데 이렇게 할려고 보니까 존나 에러한게
일단 σ를 어떻게 잡아줘야할지 모르겠고
σ를 잡아도 이놈의 제곱에 의해 fix되는 원소를 어케 잘 써야 할 지도 모르겟음 ㅠㅠ 그놈에서 sqrt(p)나 sqrt(-p)를 뽑아낼 수 있는지도 잘 모르겟고
cyclotomic extension 구글링 해봐도 안나오노 ㅠㅠ 고수햄들 도와주셈 존나 저능아된 기분임
그거 dummit 연습 문제 중에 있는데, 그거 보면 힌트 좀 얻을 수 있을 거임.
그리고 cyclotomic field에서 Galois group의 generator은 zeta를 pth primitive root라고 하면 zeta를 zeta^a(a는 Z/pZ의 unit group의 generator)로 보내는 함수임
헐 나 더밋책은 없는데... 암튼 알려준걸로 완전 주먹구구식으로 걍 a0+a1ζ+a2ζ^2+...이놈 걍 쌩으로 σ^2태워 보낼려고햇는데 이것도 띠껍노
dummit 14.7절에 exercise 11에 classical Gauss sum이라고 있는데 그거랑 같은 내용임. 쭉 따라가면 풀리니까 pdf 받거나 도서관에서 빌리거나 해서 풀어보셈. 14.6의 33번으로도 풀 수 있음. 좀 길어서 요약해주기는 힘드네. ㅠㅠ
아뇨 그정도만 알려주신것만해도 ㅈㄴ감사하죠 어느파튼지를 알앗는데 진짜 넘감사합니다 형님