프리드버그 연습 문제인데… 5번부터 10번까지 계속 span한다를 증명하라는 문제가 나와서 제가 푼 방법이 맞는지 여쭤보고 싶습니다.
세 벡터 (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)이 F^3을 생성함을 보여라
Let S={(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)}, then Span(S)={(a+b, a+c, b+c): a, b, c < F}
F^3 :={(x, y, z) : x, y, z < F}
Since F is a field, it is closed under the addition.
Therefore, (a+b), (a+c), (b+c) < F
Let P=a+b, Q=a+c, R=b+c, then Span(S)={(P, Q, R) : P, Q, R < F}
For all (x_1, y_1, z_1) < F^3, (x_1, y_1, z_1) < Span(S)
(Because for all i, x_i, y_i, z_i < F)
Therefore, F^3 < Span(S)
For all (p, q, r) < Span(S), (p, q, r) < F^3 because p, q, r < F.
Therefore, Span(S) < F^3
Thus, Span(S) = F^3
Span(S)=W 를 증명하려면, 각 집합에서 임의의 원소 하나씩 잡아서 span(S) <=W, W<=span(S) 두 방향으로 보이는 게 가장 전형적인 방법이라 알고 있는데 (모바일이라 포함 기호가 없어서 <로 대체했습니다)
세 벡터 (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)이 F^3을 생성함을 보여라
Let S={(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)}, then Span(S)={(a+b, a+c, b+c): a, b, c < F}
F^3 :={(x, y, z) : x, y, z < F}
Since F is a field, it is closed under the addition.
Therefore, (a+b), (a+c), (b+c) < F
Let P=a+b, Q=a+c, R=b+c, then Span(S)={(P, Q, R) : P, Q, R < F}
For all (x_1, y_1, z_1) < F^3, (x_1, y_1, z_1) < Span(S)
(Because for all i, x_i, y_i, z_i < F)
Therefore, F^3 < Span(S)
For all (p, q, r) < Span(S), (p, q, r) < F^3 because p, q, r < F.
Therefore, Span(S) < F^3
Thus, Span(S) = F^3
Span(S)=W 를 증명하려면, 각 집합에서 임의의 원소 하나씩 잡아서 span(S) <=W, W<=span(S) 두 방향으로 보이는 게 가장 전형적인 방법이라 알고 있는데 (모바일이라 포함 기호가 없어서 <로 대체했습니다)
알고 있는데… 그 과정이 맞는지 모르겠네요. 답변 달아주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
Let P=a+b, Q=a+c, R=b+c, then Span(S)={(P, Q, R) : P, Q, R < F} 여기서 span(S)가 저거랑 같다는 보장이 없지않음? 저거 증명하려면 연립방정식 풀어야할텐데
일단 증명이 좀 이상한게 {(P, Q, R) : P, Q, R < F}=F^3 임 그니까 너가 한거는 Span(S)=F^3 이므로 Span(S)=F^3 이다 이거임. 제대로 하면 Span(S)가 F^3 의 부분집합인거는 자명하고 역을 증명할때는 임의의 F의 원소 x,y,z 에 대하여 x=a+b y=a+c z=b+c를 만족하는 abc가 존재하는걸 보이면됨
감사합니다! 무슨 뜻인지 이해했습니다 그런데 의문점이 하나 더 생기는데… 체는 덧셈에 대해 닫혀있으니 그러한 abc가 존재하는 것이 자명하지 않나요??
덧셈에 대해 닫혀있다는거는 임의의 a,b,c 에 대하여 x=a+b y=a+c z=b+c 를 만족하는 x,y,z가 존재한다는거임 임의의 x,y,z 에 대하여 저걸 만족하는 a,b,c가 존재하냐는 전혀 다른문제임
아 이해했습니다 감사합니다!!! 군대라 물어볼 데가 앖었는데 정말 감사합니다
span을 좀 이상하게 알고 있는거 같은데 F^3의 모든 원소를 (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) 세 개 원소의 일차결합으로 쓸 수 있다는 걸 보여야 하는거임 네 풀이는 그 이유가 전혀 드러나있지 않음
그 처음 세가지원소를 a b c 라고 보자. 그리고 그 세가지 원소의 합차로 임의의 원소 (p,q,r) 을 만들수있는지 봐 - dc App