[대학교이상] 추상대수 공부하다가 갑자기 생각나서 질문해봐요

[익명(39.7)]

어떤 한 집합에서 정의되는 연산(이항연산)은 함수잖아요?

자기 자신끼리의 카테시안 곱을 정의역으로 갖고 자기자신을 공역으로 갖는 함수

함수를 정확히 정의하려면 well-defined인지 확인해야 하고요

만약 저런 식으로 특정집합(이 경우에선 상환)에서 연산(합과 곱)이 정의 됐을때, 교재에서 특별한 언급이 없어도 연산(함수)이 well-defined인지 확인하는 과정이 반드시 필요할까요?

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[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

원래는 해야하고 교재에 아마 있을거라고 생각하는데 물론 문제풀때나 그럴땐 자명하거나 알고있다고 생각하고 넘어감

[익명(39.7)]

ㅇㅎ 그렇군요 - dc App

[익명(182.31)]

원래는 하는 것이 맞지만 매번 꼭 해야하나 싶다. 현대대수 군론에서 군의 공리 4개에서 첫번째 공리, 이항연산에 대해 닫혀있다를 그냥 '연산이 정의된 집합에서'로 퉁치고 넘어가는 책도 있음. 질문과 별개로 사진에서 I+I=I 이므로 그냥 I만 적어도 무방. {1,2} union {1,2} ={1,2,1,2} 라고 적어도 되지만 보통은 않는 것 처럼말이야.

[ultraproduct(ultraproduct)]

이항연산에 대해 닫혀 있다는 건 이항연산의 정의 자체가 그걸 내포해서 그런듯. S 위의 이항연산이라 하면 S×S에서 S로 가는 함수라고 하는. 나도 굳이 따지자면 4개보다 3개라고 하는 편이고.

[익명(39.7)]

연산이 정의되었다면 그 연산이 well-defined인지 확인하는 과정이 필요하지만 군,환의 공리에서 이항연산에 대해 닫혀있다는 것은 결국 연산이 정의된 집합이라는 뜻을 내포하고 있으니 너무나 당연한 것은 굳이 증명할 필요가 없겠네요 - dc App

[익명(39.7)]

+) 별개로 답해주신건 물어보고 싶었던 건데 합 부분에서 I는 I+I=I 곱에서 I는 aI, bI, I^2을 통틀어서 표현한다.. 라고 작년 전공 수업때 들었던걸로 기억하고 잇어요 왜 그런지는 그 당시 수업들으면서 그러려니 하고 넘어간거라 따로 생각해보진 않았는데 이는 아이디얼의 정의, 그리고 합동 때문인가요? - dc App

[익명(147.47)]

글쓴이// 그게 정확하게 님이 확인해야 하는 부분임 R/I의 어떤 원소 a+I를 표현하는 방법은 수없이 많을 수도 있는데 표현 방법에 의해 연산 결과가 달라지지 않음을 확인해야지

[익명(147.47)]

통틀어서 표현하는게 아니라.. 실제로 I+I=I고 I*I=I임

[익명(39.7)]

모든 a in I에 대해 a-0 in I이기 때문에(since I:아이디얼) I+I=0+I=I..다 라고 생각해도 될까요? I*I, a*I, b*I에 대해서 생각하는건 좀 어렵네요.. - dc App

[익명(182.31)]

그게 아니면 a,b,(a+b),ab in R 이므로, (a+I),(b+I),(a+b+I),(ab+I) in R/I 가 성립하는데, 이들 사이의 이항연산, 즉 이들 사이의 대응이라고 생각하는 것도 좋을 듯

[익명(182.31)]

a,b in R-I, I는 아이디얼, (a+I)={a+i, i in I}, (b+I)={b+j:j in I (a+I)+(b+I)={c+d:c in (a+I),d in (b+I)}={a+b+i+j: a,b in (R-I),i,j in I}=(a+b+I)

[익명(182.31)]

(a+I)(b+I)={cd:c in (a+I),d in (b+I)}={ab+ae+bf+ij:ab in (R-I), e,f,ae,bf,ij in I}=(ab+I) 아이디얼의 정의에서 왜 2가지 조건이 필요했어야 했는지 생각해보길 바람

[익명(39.7)]

합에 대해선 조금씩 이해 되는 것 같아요 통상적으로 A+B={a+b:a in A, b in B}로 쓰이는 점과 아이디얼의 정의와 잉여류의 정의를 생각해보면 쉬운거였고 I+I=I가 성립하는 것은 연습문제에 있는 내용이라 그걸로 이해하면 될 것 같아요 - dc App

[익명(39.7)]

곱의 경우도, AB={ab:a in A, b in B}인 점을 생각하면 (a+I)(b+I)={cd:c in a+I, d in b+I}={(a+i)(b+j) : i,j in I, a,b R}={ab+(ib+aj+ij) : a,b in R, i,j in I}={ab + h : a,b in R, h in I}가 될 수 잇겠네요 / - dc App

[익명(39.7)]

답변에 R이 아닌 R-I를 쓰신 이유가 잇을까요? - dc App

[익명(39.7)]

관련 내용으로 검색해보니깐 lemma가 검색 되더라고요 I가 환 R에서 아이디얼 일때, (1) rI, Ir ㄷ I for any r in R (2) i + I = I + i = I for any i in I, (3) S+I=I+S=I for any S ㄷ I. 이 lemma를 통해서 성립한다고 봐도 무방할것 같네요 - dc App

[익명(175.215)]

a,b in R이 맞음. 근데 a,b in I일 경우 a+I=I=b+I가 되고, a+I라고 잘 안씀. 이경우 I=0+I 는 R/I의 항등원임. a,b in I 일 경우 아이디얼이 환이니까 당연성립. a,b in R-I일 경우 아이디얼이어서 자연스럽게 R의 연산이 I의 연산 R/I의 연산과 이어짐. 몫환구조는 체론에서 선대랑 같이 다항식환 자를 때 중요하게

[익명(39.7)]

아하 그렇게 생각할 수 있군요 답변 ㄱㅅ - dc App

[익명(39.7)]

체론은 선대에서 어떻게 적용되나요? - dc App

[익명(223.39)]

확대체 부분에서, 다항식환의 몫환을 벡터공간으로 보면서 차원과 기저를 다룰 때 사용할거야. 자세한거는 책을 참고해

[익명(147.47)]

당연히 해야지

[익명(39.7)]

교재에서 생략된 경우에도요? - dc App

[익명(147.47)]

너에게 자명하게 느껴지지 않으면 직접 증명해야지. 그러다가 언젠가부턴 자연스럽게 느껴져서 안해도 되는 단계가 올것임

[익명(39.7)]

그렇군요.. - dc App

[ㅇㅇㅇ(110.76)]

이게 맞음. 나한테 자명하게 느껴지는지가 중요함. 조금이라도 이상하다 싶음 파고들어 봐야 돼

[익명(183.101)]

하는데 10초보다 더 걸리냐? 그냥 해라