[일반] 미분 질문드립니다

[익명(112.170)]

이문제가 도저히 안풀리네요ㅠ
x로 묶고 x= 1/t 로 치환했는데
로피탈 쓰면 무한 반복이에요...

[익명(58.122)]

치환한 다음에 로그걸고 미분하면 안되나

[익명(112.170)]

풀이과정좀 로그걸었다가 미분하고 다시 빼는거임?

[유사수학자(lonelymath)]

(1) 테일러 정리를 이용한 풀이. (1+1/x)^x = exp(x log(1+1/x)) = exp(x (1/x - 1/(2x^2) + O(1/x^3) )) = exp(1 - 1/(2x) + O(1/x^2)). 따라서 (1+1/x)^x - ex = ex * (exp(-1/(2x) + O(1/x^2)) - 1). 한편 exp(-1/(2x) + O(1/x^2)) = 1 - 1/(2x) + O(1/x^2)이므로 이를 대입하면 ex * (exp(-1/(2x) + O(1/x^2)) - 1) = -e/2 + O(1/x) : -e/2로 수렴.

[유사수학자(lonelymath)]

(2) 로피탈 정리를 이용한 풀이. 마찬가지로 (1+1/x)^x = exp(x log(1+1/x))이니까, 결국 (1+1/x)^x - ex = ex (exp(x log(1+1/x) - 1) - 1). 근데 x가 무한으로 향하면 exp 안의 항 x log(1+1/x) - 1는 0으로 수렴함. 따라서 ex (exp(x log(1+1/x) - 1) - 1) = ex (x log (1+1/x) - 1) * [(exp(x log(1+1/x) - 1) - 1) / (x log (1+1/x) - 1)]인데, [ ] 안의 항은 1로 수렴하므로 결국 ex (x log (1+1/x) - 1)의 수렴값을 구하는것과 같음.

[유사수학자(lonelymath)]

이제 t=1/x로 두면 결국 t가 0으로 향할때 e * (log(1+t) - t)/t^2의 수렴값을 묻는 문제가 되는데, 로피탈 정리에 의해서 e * (log(1+t) - t)/t^2는 e * (1/(1+t) - 1) / 2t = -et/(1+t) / 2t = -e / 2(1+t)에 대해서 t가 0으로 향할때 극한값이 되므로, -e/2로 수렴

[익명(112.170)]

익스퍼넨셜이 뭔뜻이었지

[익명(58.122)]

자연로그의 밑

[유사수학자(lonelymath)]

exp(x) = e^x임. e^{~}에서 ~가 너무 길어져서 exp(~)로 대신 적었음

[익명(112.170)]

(2) 첫번째 답글 따라서 ~~~ 에서 [ ~] 부분이 어캐곱해졌는지 약간이해가 안댐

[유사수학자(lonelymath)]

x가 무한대로 향할때 u = x log(1+1/x) - 1가 0으로 향한다는걸 앞에서 언급했음. [ ~ ] 부분은 결국 (e^u - 1) / u인데, u가 0으로 향할때 이것의 극한값은 1임

[익명(122.40)]

미분계수의 정의써서 f(x)=(1+1/x)^x에서 f'(inf)의 값을 구하면 되는거 아님?