[중고딩문제] x^4-2(y^2)=1 을 만족시키는 정수 x,y의 순서쌍을 모두 구하시

[익명(220.120)]

이거 정답좀 알려주셈 문제 풀어봤는데
(1,0) (-1,0)밖에 못찾음

[익명(59.15)]

x^2=t 라고 하면 쌍곡선이니까 그거밖에 없겠지

[익명(220.120)]

이게 정답맞지??

[ns(qwer2357)]

2y^2 = (x+1)(x-1)(x^2+1) 인데 2의 지수 빼면 우변의 각 인자가 서로 소임. 그래서 케이스가 셋중 정확히 하나가 2u^2 꼴이고 나머지는 s^2, t^2 꼴이라고 말할 수 있음

[ns(qwer2357)]

이제 x^2 +1 = u^2 꼴이면 (x+u)(x-u) = 1이라서 양수만 치면 u=0 x=1을 얻고 끝. 아닌 경우 x+1, x-1이 각각 u^2, t^2 꼴이라 u^2 - t^2 = 2가 되어 이경우 해 없음 따라서 자명해 외엔 해가 없음

[ns(qwer2357)]

서로 소인거 보이는건 유클리드 호제법으로 gcd a, b = gcd a-b, b 쓰면 되고, a b 위치에 x+1 x-1 이나 x^2 + 1 = (x+1)(x-1) + 2 를 쓰면 됨. 꼴이 저렇게 분해되는건 y를 나누느뉴각 소수 p에대해 p가 저 항들 중 정확히 한개만 나눌수 있다고 논해주면 됨. 2를 빼고 나머지 각 p에 대해 홀수지수로 정리돼서

[ns(qwer2357)]

말하고보니 케이스 하나 빼먹었는데 세 수가 모두 2u^2 꼴인 경우도 되겠네. 논의는 비슷하게 진행해서 결국 자명해만 가능.