[대학교이상] 추상 질문

[익명(39.7)]

18번에서 기제된 집합 AB는 어떻게 정의 된건가요?

AB가 아이디얼이면 단순히 {ab:a in A, b in B}는 아닌것 같은데..

아이디얼이란 조건이 없으니 AB={ab:a in A, b in B}로 봐야될까요?

- dc official App

[TQFT(lemonkx)]

ab 꼴의 원소들의 유한합들의 집합

[익명(39.7)]

왜 그런지 이유를 알 수 잇을까용 - dc App

[TQFT(lemonkx)]

ab꼴만 모아놓은 집합은 아이디얼이 아님

[익명(39.7)]

아 그건 알고 잇어요 아이디얼 집합의 곱을 각 원소들의 곱의 유한합으로 정의해야 아이디얼이 된다는 거 근데 저기서 쓰이는 AB를 아이디얼로 봐야할지를 잘 모르겠어요 둘다 해봐야되나.. - dc App

[TQFT(lemonkx)]

애매하면 둘 다 해보는게 국룰이긴 하지여 ㅋㅋ

[TQFT(lemonkx)]

그런데 그냥 곱만 다 모아놓은 걸로 하면 저 명제가 너무 자?명할 거 같아서 아이디얼 곱으로 봐야할 것 같긴한데

[익명(39.7)]

저도 ㅋㅋ 그냥 단순히 ab들의 집합으로 보면 자명해서 유한합인 집합으로 봐야될지 고민.. - dc App

[TQFT(lemonkx)]

제가 조교였으면 아이디얼 곱으로 생각하고 푸세요!라고 할 것 같음

[익명(39.7)]

ㅋㅋ 그럼 두 가지로 풀어봐야겠네요 - dc App

[익명(39.7)]

만약 아이디얼의 곱(ab꼴의 유한 합)으로 본다면 증명을 어떻게 해야할지.. 감이 안와요 ㅠㅠ - dc App

[TQFT(lemonkx)]

사실 좀만 더 생각해보면 그냥 곱만 모아놓으면 필요충분조건 중에 한 쪽만 될걸여

[익명(223.39)]

AB라고 하면 일반적으로 ab꼴 원소들의 집합을 말합니다 - dc App

[익명(223.39)]

아닌가 잠시만여 - dc App

[익명(223.39)]

그렇네요 더밋푸트 251페이지에 유한합들의 집합으로 봐야한다고 되어있네요 - dc App

[익명(39.7)]

오.. 그 교재는 잘 모르겠지만 저 문제와 같은 명제가 있는건가요? - dc App

[익명(223.39)]

저건 제 기억상 그 교재의 연습문제에 있었고, 그 문제에서의 AB의 정의도 앞의 정의와 같습니다 - dc App

[익명(223.39)]

현대대수 배운지 1년이 넘어서 가물가물했네요;; - dc App

[익명(39.7)]

아.. 그 교재에 저 문제와 같은 문제가 있었고, 그때의 AB는 ab꼴의 유한합을 원소로 같는 아이디얼로 정의 됐다는 거군요 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

교재에 정의 안나옴? 그냥 문제만 있는 교재임? - dc App

[익명(39.7)]

아이디얼끼리의 합 곱은 아이디얼을 다루는 단원의 연습문제에 나온적이 있는데(a+b를 원소로 같는 A+B, ab을 원소로 같는 AB, ab들의 유한합을 원소로 같는 AB) 저 곱이 정확히 어떤거다라는 정의는 없어요 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

저거는 걍 복습용으로 봐야지 처음할때 보는거면 진짜 안좋은 책같네ㅋㅋ 쨌든 윗댓들 말대로 대부분의 교재에서 저런 표현은 ab들의 유한합들을 모은 집합으로 정의함 근데 저걸 ab만 모은걸로만 볼때는 A가 P에 포함될려면 곱셈항등원이 B에 있어야할텐데 그게 들어간 아이디얼은 R과 같아지니까 의미없다고 바로 생각가능하긴 함 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

아 저거 소아이디얼이였네 ㅋㅋ 문제없네 그럼 - dc App

[익명(39.7)]

네 ㅋㅋ P가 소아이디얼일때 필충조건을 따지는 거라 AB를 아이디얼 곱으로 볼지 그냥 일반 집합끼리의 곱으로 볼지 고민한거에여 - dc App

[익명(39.7)]

그래서 AB가 ab들끼리의 집합이면 쉽게 증명이 되는데 유한합들의 집합일 경우 증명방법이 떠오르지가 않아서 골골거리고 잇죠 ㅠㅍ - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

위에서 뭐 못풀겠다고 하던데 ab꼴도 유한합으로 볼수있긴한건 알지? - dc App

[익명(39.7)]

그쵸? ab를 제외한 다른것들에 0을 포함시키면 되니깐 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

ㅇㅇ 맞지 - dc App

[익명(39.7)]

<= 는 ab를 유한합으로 볼 수 있으니 쉽게 되는데 => 는 잘 모르겠어요 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

A가 P에 포함이 안된다고 가정하면 적당한 a1 in A가 존재해서 ~(a1 in P)이고 여기서 a1×b in P for all b in B이니까 방금얻은 a1 not in P임과 P가 소아이디얼임을 이용해서 b in P를 얻게됨 즉 B는 P에 포함 - dc App

[익명(39.7)]

오 그런식으로도 가능하구나 전 ABㄷP이고 ~(AㄷP or BㄷP)라고 가정 -> P : 소아이디얼이므로 모든 a in A, b in B에대해 ab not in P -> 임의의 c in AB에 대해 A, B는 R에서 아이디얼 이므로 c = a1b1+..+anbn not in P, but 이는 가정에 모순이므로 결과가 성립 한다고 했거든요 - dc App

[익명(39.7)]

아 모든이 아니라 적당히 존재하는 a,b에 대해서요 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

적당히 존재하는 그 a,b에 대해서도 ab in P아닌가 가정때문에 - dc App

[익명(39.7)]

네 exist가 되야되는데 임의로 봐서 잘못 썼네요 ㅋㅋ - dc App

[익명(39.7)]

가정에 의해 P에 속하지 않는 A,B의 원소들의 곱의 유한합으로 쓸 수 있는 c가 존재하고 A,B는 아이디얼 이므로 c not in P이지만 이는 ABㄷP라는 사실에 모순 - dc App

[익명(39.7)]

다시 정리하면 ~(AㄷP or BㄷP)라고 가정 -> a,b not in P인 a in A, b in B가 존재 -> P:소아이디얼, ab not in P -> a in A, b in B이므로 ab in AB(각 원소들의 곱들의 집합 또는 아이디얼의 곱), 가정에 의해 ab in P -> 이는 모순이므로 AㄷP 또는 BㄷP가 성립 - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

이제 좀 보기편해졌네 ㅋㅋ 보니까 문제점은 안보이네 잘한듯 + - dc App

[익명(39.7)]

ㅋㅋ 너무 막쓴걸 답변 달고서야 깨달아서 후다닥 고쳐서 썼슴다 ㅠㅠ 맞으니 다행이네요 - dc App