연속함수 f(x), g(x)에 대하여
임의의 실수 t에 대해 2f(2t)-f(t)=g(3t) 라는 항등식이 성립합니다
항등식을 적분하면 F(2t)-F(t)=1/3G(3t)+C
여기서 적분상수 C가 0이 아닌데,
원래 항등식을 적분하면 적분상수가 없이 나와야 하는 것 아닌가요?
예를 들어 삼차함수 f(x)=g(x)가 모든 실수 x 에 대해 성립한다면
저 항등식을 적분했을 때 F(x)=G(x)이 되잖아요
둘이 그래프가 같으니 적분했을 때도 같게 나와야 하는 건데
처음 말한 적분식 F(2t)-F(t)=1/3G(3t)+C 에서
좌변은 정상적인 적분 구간 설정이 가능하지만 우변은 불가능하기 때문에
이렇게 적분상수 C가 추가되었다고 하는 말도 있는데 어떻게 이해해야 할지 모르겠어요
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헷갈리네 그러면 항등식 부정적분은 모든 상황에 무조건 적분상수 붙이면됨??
항등식을 각각 적분하면 적분상수가 왜 0이 되어야하는거임? F(x)=x^{2} +1, G(x)=x^{2}+3 라고 할 때 f(x)=2x=g(x)지만 적분하면 같아지는건 아니잖음
F(2t)-F(t) = G(3t)/3 - G(0)/3 되는거 아님? 양변 from 0 to t 로 적분하면
적분 구간 설정이고 뭐고는 다 억지고 부정적분하면 F(2t)+C1 + F(t)+C2 = 1/3*G(3t) + C3인데 상수 이항해서 C 하나로 표현하는거임
좌변 부호 하나 잘못 썼는데 아무튼 그럼
다항식의 미분 적분 관계를 생각하면 쉽죠 모든 실수는 미분하면 0이 되잖음 근데 왜 적분을 할때 적분상수를 넣느냐, 피적분함수의 원함수를 정확히 모르기 때문임 위에서 든 예로 모든 실수 x에 대해서 f=g라고 해서 원함수 F,G가 무조건 같을 수가 없음 - dc App
또한 여러개의 함수의 합, 차, 곱.. 등 적분했다고 해서 그 적분상수가 모두 같은건 아님 f=x^2, g=x면 f+g의 원함수의 적분상수랑 각각의 원함수를 더해서 나오는 적분상수는 일반적으로 같지는 않죠(같은 경우도 존재할 순 있음) 결과값에 적분상수를 C라고 표현하는 이유는 각 함수의 적분상수들의 합과 차를 한 문자로 표현한것일뿐 - dc App