프리드버그 5판 연습 문제입니다...
필요충분조건임을 증명하는 문제인데, 종속 => 존재한다 방향을 증명하는 중 의문점이 생겨 질문 드립니다. S가 점공간이 아니고 v의 계수가 0이 아님을 가정한 상태에서 증명하고, 계수가 0인 경우를 증명하려 했는데… 0일 경우 v가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현되지 못하는 게 아닌가요?
답변 남겨주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
(포함 기호가 없어 <로 대체했습니다)
집합 S가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 ‘S={0}이거나 v가 u_1, u_2, …, u_n의 일차결합이 되도록 하는 서로 다른 벡터 v, u_1, u_2, …, u_n < S이 존재하는 것’임을 증명하라.
S is linearly dependent => S={0} or there exist v, u_1, u_2, …, u_n < S such that v is a linear combination of u_1, u_2, …, u_n.
Since S =\= {0} is linearly dependent, there exists at least one scalar a_i s.t. a_1•u_1 + a_2•u_2 + … + a_n•u_n + a_n+1•v=0. Therefore, v=(a_1•u_1 + a_2•u_2 + … + a_n•u_n)/(-a_n+1) (a_n+1 =\= 0)
If a_n+1 = 0, then ??
필요충분조건임을 증명하는 문제인데, 종속 => 존재한다 방향을 증명하는 중 의문점이 생겨 질문 드립니다. S가 점공간이 아니고 v의 계수가 0이 아님을 가정한 상태에서 증명하고, 계수가 0인 경우를 증명하려 했는데… 0일 경우 v가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현되지 못하는 게 아닌가요?
답변 남겨주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
(포함 기호가 없어 <로 대체했습니다)
집합 S가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 ‘S={0}이거나 v가 u_1, u_2, …, u_n의 일차결합이 되도록 하는 서로 다른 벡터 v, u_1, u_2, …, u_n < S이 존재하는 것’임을 증명하라.
S is linearly dependent => S={0} or there exist v, u_1, u_2, …, u_n < S such that v is a linear combination of u_1, u_2, …, u_n.
Since S =\= {0} is linearly dependent, there exists at least one scalar a_i s.t. a_1•u_1 + a_2•u_2 + … + a_n•u_n + a_n+1•v=0. Therefore, v=(a_1•u_1 + a_2•u_2 + … + a_n•u_n)/(-a_n+1) (a_n+1 =\= 0)
If a_n+1 = 0, then ??
계수가 전부 0일때도 선형결합임
-0•v= a_1•u_1 + a_2•u_2 + … + a_n•u_n 위의 식은 v가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현된다고 보장 못하지 않나요?
v의 계수는 0이 아닌걸로 잡았잖아
0이 아닐 때는 증명했고 0일 경우에는 어떻게 되는지가 질문이었습니다. 0이라고 가정하면 보장이 안되지 않나요??
계수 중에 0이 아닌거 하나는 반드시 있을거 아냐 그걸 v라고 하는거지
그럼 어떤 u_i가 v가 되는 건데, 문제에서 “서로 다른”이라는 조건을 만족 못하지 않나요…?
선형종속 정의가 뭔데?
0을 non trivial solution으로 표현할 수 있으면 일차종속이죠
0이 서로 다른 벡터들의 선형결합으로 나타날텐데 그것 중에 하나를 v라고 하면 되잖아
non trivial solution이니까 계수 중 하나는 무조건 0이 아닐거고 그게 v라하면 계수가 0이 아닌 v는 무조건 존재하니까 계수가 0인 v는 케이스 분류가 필요없지안ㄹ나?? - dc App
그냥 선형종속이므로 a_1u1+...+a_n+1v=0 을 만족하는 다 0은 아닌 {ai}가 존재해야 되는건데, 이 중 0이 아닌 놈을 v라고 가정하면 됩니다. Without loss of generality 정도 추가해주면 문제안돼요
아 그러니까 굳이 문자의 모양에 얽매일 필요 없다는 거죠?!
문자의 모양.. ㅋㅋㅋ ㅇㅇ
님이 보여야 되는게 S안의 어떤 v에 대해서 그 어떤 v가 나머지 놈들의 선형결합으로 표현된다는걸 보여야 하는건데, v는 말그대로 그냥 하나만 존재하면 되는 어떤 v이고, 그런 어떤 v는 반드시 존재하잖아요? 그게 v든 a_7이든 그게 중요한게 아니죠. 다만 증명은 깔끔해야 하므로 WLOG 로 계수가 0이 아닌 애를 v로 fix하겠다 정도 추가해주면 되는겁니다
감사합니당~ ㅎㅎ
수잘갤 최고다!!
S가 {0}이면 2*0, 1*0, 3*0도 다 0이므로 linearly dependent잖아 - dc App
0이 그 0이 아니라 계수입니다
ㅈㅅ 점공간이 zero space인줄 몰랐음 - dc App