[대학교이상] 어떤 멱급수에 대응되는 함수는 유일하다?

[익명(211.186)]

정리에따르면 어떤 함수가 멱급수 표현을 가지면 그 함수의 멱급수 표현은 유일하다는 것은 알고있습니다. (테일러급수)

그런데 궁금해진것은 역으로 만약 어떤 멱급수가 있으면, 그 멱급수에 대응되는 함수는 유일한것인가? 입니다.

이게 참일까요? 참이라면 증명이 가능할까요?

[ns(qwer2357)]

몇가지 전제가 돼야하는데 1. 멱급수 자체가 전개하는 점에 따라 표현이 달라짐 2. (양의 수렴반경으로) 수렴하는 멱급수는 복소해석함수 3. 두 멱급수가 같은 점에서 전걔했고 함수값이 그 점 근방에 무한개에서 같으면 같은 멱급수 4. 싷함수면 멱급수전개가 서로 다른 점에서 전개한 멱급수가 일치하지 않을 수 있음

[ns(qwer2357)]

첫번째건 sum x^n = 1/(1-x) = sum (1/2)^n+1(x+1)^n 같은 경우. 멱급수 표현은 달라도 겹치는 구간에서 같은 함수

[ns(qwer2357)]

네번째는 흔히 아는 exp(-1/x) 와 0이 양수 음수 나눠서 가지는 무한급수. -1에서ㅣ 멱급수전개는 그냥 0이고 이 멱급수가 무한 수렴반경에서 수렴하지만 1에서의 멱급수와는 다름

[ns(qwer2357)]

2번은 복소함수애서 배우는 테일러 정리고 3번은 복소함수의 identity theorem 둘다 복소에서 배움

[익명(180.67)]

https://www.youtube.com/watch?v=1RKS8rrYaMk

[Rafle(probaroque)]

시발 광고인줄 알고 지울뻔

[익명(110.76)]

다변수로 가면 partial sum을 만드는 방식에 따라 달라질수도 있음