가 n차원 평행체의 부피라고 하는데 이거 맞음?

일차독립인 n벡터 v1 v2 ... vn에 대하여
그램슈미트 방법에 의해
w1=v1
w2=v2-proj(w1, v2)
w3=v3-proj(w1, v3)-proj(w2, v3)
...
wn=vn-proj(w1, vn)-proj(w2, vn)-...-proj(wn-1, vn)라 하면
i=/=j일 때 wiㅗwj이고 det는 교대다중선형사상이므로

det(v1 v2 ... vn)=det(w1 w2 ... wn)이고
(w1 w2 ... wn)=W라 하면
(detW)²=detW²=det((W_T)×(W))=det(ii항이 wi•wi인 대각행렬)
=(|w1||w2||w3|...|wn|)²
여기서 이게 n차원 큐브의 부피 제곱이잖슴