라그랑주의 나머지항에 관한 정리는
라는 내용인데요. 이 내용을 해석하자면 f(x)=Tn(x) + Rn(x) 라고 할 수 있다는것을 배웠습니다.
(여기서 Rn(x)={f'(n+1)(c) / (n+1)!} (x-a)^(n+1)
여기서 궁금해진것은 이것이 과연 테일러의 나머지정리(테일러 부등식)와 어떤 상관이 있는지입니다.
나름 고민해봤더니ㅣf'(n+1)ㅣ이 M보다 작으면 ㅣf'(n+1)(c)ㅣ도 M보다 작으므로 이 정리의 결과는 사실 어떻게보면 당연한 결과더군요...
그런데 라그랑주의 정리는 저러한 조건을 만족하는 c가 (a,x) 사이에 존재한다는 정리인데.... (존재성)
이러한 c가 존재한다는게 어떤것을 알려주는걸까요...? 뭔가 알것같으면서도 정확한 추측이 잘안되서 질문드립니다..
아니면 사실 별 상관이 없나요?
https://brilliant.org/wiki/taylors-theorem-with-lagrange-remainder/
위의 정리의 특수한 경우가 평균값 정리인데, 평균값 정리가 이론적인 증명들을 할 때 은근히 많이 쓰입니다. 예를 들자면 개구간에서 미분가능한 단조증가함수는, 그 개구간에서 도함수가 0보다 커야한다는 정리는, 평균값 정리를 써서 증명해요. 이계도함수로 오목, 볼록 판별하는 것도 평균값 정리로 증명하고요. 정리하자면, "특수한 조건에서" 부등식 논리전개를 조금 더 용이하게 만드는 것 같습니다.
뉴턴 전진 차분법에서 발전된 형태라, 급수가, 어떤 존재하는 n차식의 n-1차 근사식이라면, n-1차 이후에 오는 무조건 오차를 줄여주는 잉여항이 있어야 해요
두번째 댓글이 제일 정확하네요