[일반] 둘레 r인 도형의 넓이는 r^2/4pi 보다 작은 모든 실수 집합이라는걸

[익명(39.112)]

어떻게 증명할수 있을까?

[익명(175.215)]

등주부등식 아님?

[익명(175.215)]

등주부등식 증명 구글 검색 ㄱㄱ

[익명(39.112)]

원이 최대라는걸 증명하는게 아니라 도형의 넓이가 모든 실수값이 될수 있는가를 증명하고싶어

[익명(175.215)]

넓이가 유한한데, 길이는 무한한 프랙탈 구조(코흐 눈송이) 같은 것도 있는걸 보면,길이가 일정한데 넓이는0에 수렴하게도 가능할 듯? 물론 그 사이에도 가능할 것 같음

[유사수학자(lonelymath)]

r=r1+...+rk를 만족하는 임의의 양의 실수 r1,...,rk에 대해서 둘레 r1,...,rk인 k개의 원들을 일렬로 붙여서 둘레를 r에 아주 가깝게 만들수 있고 넓이도 ri^2/(4pi)들의 합이 되니까 r1,...,rk와 k를 잘 잡아주면 r^2/(4pi) 이하의 임의의 양의 실수로 만들어줄수 있음

[익명(59.10)]

그냥 직사각형으로만 해도 모든 넓이의 도형 만들 수 있지 않음?

[pseudo(kimbabsa)]

그건 r^2/16 상한을 가지므로 안되지

[익명(175.215)]

스케일을 조정하면 되니까 일반성을 잃지 않고, 반지름이1 둘레가 2pi인 원에서 부터 넓이를 줄여나가면 임의의 실수k에 대하여 가로a,세로b라하면 a+b=pi,ab=k인 이차방정식을 풀면 될 것 같음

[익명(175.215)]

x^2-pi x +k=0(단 0<k<_pi, 근a,b는 양수) x= (pi+-sqrt(pi^2-4k)/2 에서 두 근은 양수 이므로 가능할 것 같음

[pseudo(kimbabsa)]

그럼 둘레가 r이 아니잖아

[익명(175.215)]

나는 둘레를 pi라고 세팅했는데, 임의의 둘레 r에 대하여 r/pi배 해주면 되지 않을까?

[pseudo(kimbabsa)]

아니 그냥 둘레가 r인 직사각형의 넓이는 상한을 가진다고...산술기하평균만 써도 나오는걸... r^2/4pi>r^2/16=(r/4)^2=((a+b)/2)^2>=ab

[익명(175.215)]

a+b=r/2,ab=k(for any k, 0<k<_r^2/4pi) 2x^2-rx+2k=0, x=(r+_sqrt(r^2-16k))/4 길이가 허수가 나올 수도 있을 것 같은데? 지금 생각해보니 안되는 것 같기도 하고...

[익명(59.10)]

ㅇㅇ 내가 댓글 잘못 단 게 맞음 밑댓 말대로 타원으로 하면 되겠네 아무튼 말하고 싶은 건 원에서부터 작아지는 연속적 변화였음

[ALTa(tladud123)]

둘레가 r인 타원을 이심률k에 따라 변화시키면 넓이가 0부터 원의 넓이까지 연속적으로 변화함