보통 'Lebesgue Integral 이라는 것이 존재한다' 라는 것을 소개할 때, 이게 어떤 짓인지를 시각적으로 설명함에 있어서 아래 그림과 같이
소개하고는 하잖아요?
'리만적분이 Vertical하게 쪼개는 것이라면, 이와 대조적으로 르벡적분은 Horizontal하게 쪼개는 것이다' 이런식으로요...
그런데 르벡적분 설명을 읽어보니까, 르벡적분이든 리만적분이든 결국 둘 다 시각적으로 표현한다면 똑같이 'Vertical 하게 쪼개는 것' 이 아닌가요?
시각적으로 표현한다면 아래 그림과 같이요
즉, 질문은, 'Lebesgue Integral 또한 시각적으로 표현하면 Horizontal하게 쪼개진 직사각형이 아니라 Vertical 하게 쪼개진 직사각형의 합으로 표현된다' 이 말이 맞는 말인지 여쭤보고싶습니다.
즉, Measure of each set가 width고, y값이 height라는 방식으로 생각하면 맞게 생각하는건지? 가 궁금합니다.
만약 'Horizontal 하게 쪼개진 직사각형의 합이라고 표현하는 것도 맞는 표현이다' 라면, 어떤 방식으로 생각을 해야 저렇게 바라볼 수 있는지도 궁금합니다.
f보다 작거나 같은 simple function 몇 개를 직접 그려보면 알 수 있음
리만 적분은 정의역을 분할해서 나온 직사각형들의 합을 구한다고 생각할 수 있고요, 르베그 적분(메져 적분)은 공역 부분을 분할해서 각 공역 범위에 해당하는 x의 범위를 모아 나온 직사각형들의 합이라고 생각하면 좋을 것 같습니다. 르베그 적분이 좋은 이유는 함수열들의 극한과 적분의 교환(change of limit and integral)에서 큰 이점을 얻을 수 있는 부분이 있기 때문입니다. (리만 적분으로 적분 불가능한 함수들은 대부분 이러한 원인으로부터 발생합니다.) 리만/르베그 적분의 차이를 가로/세로로 생각하지 말고, 정의역/공역으로 분할해서 얻어내는 직사각형들의 합의 차이로 생각해주세요.
결론적으로 사실 많은 사람들이 르베그적분을 세로로 적분하는 것이라고 표현하는 것이 공역의 분할로부터 오는 오해의 표현이라고 생각되네요 저는. (영어 위키피디아에서는 맨 처음 사진으로 설명하지 않거든요.)
아~ 감사합니다 큰 도움이 됐습니다 저도 찾아보니까 첫번째 그림은 오해라고 많이들 하더라구요. 공역의 여러 값들을 기준으로 x값들의 집합을 구하는 과정에서 여러개의 수평선을 그은 것 뿐인데 그걸 보고 수평으로 미소구간을 나누는 거라고 착오를 한다구요.