칼럼 제목 : A Crisis of Identification, 3월 2일자

칼럼 링크 : https://inference-review.com/article/a-crisis-of-identification

저자의 블로그 글 : https://thehighergeometer.wordpress.com/tag/abc-conjecture/


저자 소개 :

My name is David Michael Roberts. I am currently a research associate at the Institute for Geometry and its Applications in the School of Mathematical Sciences at the University of Adelaide.


대충 문단 읽어가면서 내용을 써보면



- 수학에서 큰 추측들이 증명될 때(혹은 증명했다고 주장할 때), 그 증명이 사실이 아니어도 큰 업적으로 생각될 수 있는 경우가 많다.

- 그 아이디어와 요지들이 빠르게 이해되고 그것만으로도 가치가 있기 때문. ex) 와일즈의 페르마 마지막 정리 (결함있던)첫번째 증명, 페렐만의 푸앵카레 추측 증명

- 모치즈키의 IUT(or IUTT, inter-universal Teichmüller theory)는 정반대다. 이해하기는 존나게 어렵고 특히 대부분 Cor 3.12에서 ??를 띄우면서 ㅈㅈ를 치기때문.

- 그리고 ㅈㅈ를 치는것 뿐만 아니라 이게 틀렸다고 생각하는 주장도 있으며, PS = 피터 숄체가 그 중 하나.



- 모치즈키의 IUT는 그로센딕의 방식과 비슷하다. 문제 하나에 초점을 맞추는게 아니라, 아예 새로운 이론을 만들어놓고 그 이론의 결과로 문제를 풀어버리는 것

- 그로센딕은 베일 추측을 풀기 위해서 자신만의 코호몰로지 이론을 만들었고, 이 과정은 SGA가 대표적

- 그 결과 1964 그로센딕은 베일추측 4개중 3개를 풀었고, 10년후 들리뉴가 나머지 하나를 풀었다.

- 이 코호몰로지이론에서 나온 토포스(Topos), 스킴(Scheme) 등은 대수기하 혹은 그 외의 영역에서 빠르게 활용되면서 혁명을 일으켰다.



- 모치즈키의 IUT는 자신이 Frobenoid라고 이름붙인 구조들을 탐구하는데서 시작한다.

- IUT의 연구는 수면 아래에서 조용히 이뤄졌고(under the radar) 관심을 거의 받지 못했다.

- 또한 Frobenioid가 IUT의 선행과정인건 맞는데, 정작 IUT의 일반적 이론에선 거의 쓰이지 않는다. 

- 이게 수학자들이 이 증명을 이해하기 어려운 이유 중 하나. 양은 많고 단순화하긴 어렵고

- 다른 이유로는 모치즈키의 문화적/지리적 고립. 영어는 잘하는데 교토에서 안나온다고 한다...

- 뭐 세미나 같은걸 안한건 아닌데 너무 많은 내용이 너무 짧은 시간동안 다뤄지고 질문시간도 빡빡해서 큰 도움이 안된듯함

- 쨋든 이걸 설명하려는 노오오력이 있긴하다. Taylor Dupuy가 2015년에 동영상으로 시도해봄

- 그리고 6개월동안 수십개 비디오가 나왔지만 증명의 핵심은 다가가지도 못함. 최근엔 Cor 3.12에 초점을 맞춰서 한다고. 물론 빡셈




- 수학적으로 좋은 설명이란건 직관적 이미지와 그 의미의 정확한 묘사가 있다는 것

- 모치즈키의 설명은 이미지나 비유는 있는데 표준적 용어마저 다른 의미를 갖는 경우가 있다고 함.

- "Two mutually alien copies of conventional scheme theory are glued together" 이라든지 "dismantling the two underlying combinatorial dimensions of a ring "라든지... (저자에 따르면) 수학자한테도 이해하기 쉬운(illuminating) 표현은 아니라고

- 비슷하게 새로운 구조들을 만들어낸 숄체하고 비교하면, 2018년 말 퍼펙토이드(Perfectoid)는 여러 탑티어 저널에 47번 사용되었음(MathScinNet)

- Frobenioid가 언급된 논문은 단 세 개. 그것도 다 모치즈키가 쓴 것.(MathSciNet)

- 이런 방법들은 그로센딕이 '호두를 망치로 깨지말고, 부드러워질때까지 물에 적셔라'라고 한것과 비슷하지만, 모치즈키는 아직 효과를 못보는중

- Cor 3.12가 핵심이고 이게 Thm 3.11에서 나오는데 얘가 abc추측에 관련된것만 요약하기가 쉽지 않다드라



- 컴퓨터를 활용한 형식적 증명(Formal Proof)으로 접근하는건 하고 있긴한데 당분간은 좀?

- 왜냐면 이 과정 자체가 원래 이론의 이해가 필요하기 때문. 예로 퍼펙토이드 관련해서 진행중인데 adic 공간 이론을 형식화해야.... IUT는 당연히 불가능에 가깝

- 이런 상황에서 숄체와 스틱스(Stix)가 Cor 3.12에 이의를 제기했고, 이 부분은 Conrad에 따르면 다른 사람들도 막힌 부분임



- 모치즈키는 물론 '다른 사람들이 읽고 또읽고 또읽어서 확인된' 증명이라고 주장. + IUT 연구자들 몇명도 마찬가지.

- 의심받던 증명이 실제로 참이었던 경우가 있음. Kurt Heegner가 가우스의 Class number Problem을 풀었을 때.

- 서술이 중요한 부분마저 애매해서(역주 : + 거기에 잘못된거로 판명난 논문을 인용했다고함. 정작 그 결과는 안써서 상관없었지만) 생애에 인정을 못받음.

- 그렇다고 Heegner가 부당한 대우를 받은건가?라기엔 Poorten은 아니라고 답함. 

- 다른 사람들이 이해할 수 있는 형태로 쓰는 것이 옳고, 그러기 쉽지 않은 것은 좋은 취급을 받지 못하는게 당연하다는 것. 수학도 '사람'이 이해하는 과정이니까.

- 4색정리 증명도 이해 불가능한거로 비판 받았는데, 모치즈키는 두개가 겹침. 이해하기도 어렵고 참거짓 여부마저 의심받는중.




- 힐베르트가 말하길, 유클리드 기하에서 "점, 선, 면은 원한다면 탁자, 의자, 맥주잔으로 바꿀 수 있어야 한다."

- 푸앵카레 역시 "수학은 다른 것들에 같은 이름을 기술(art)이다. 실제로 다른것이더라도, 형태가 비슷하면 충분하다."

- 데데킨트의 자연수, 실수도 같은 철학을 따름. 어떤 성질을 만족하는 객체들 사이에 isomorphism이 있으니, isomorphism에 대해 자연수(실수)는 유일하다 이런식

- 현대 카테고리가 이를 완벽히 따름. A와 B사이에 isomophism이 있고 A가 (카테고리적 언어로 쓰인)P를 만족하면, B 역시 이를 만족해야만함.

- 또 Forgetful functor를 통해서 구조들을 떨궈내면서 더 큰 동일시를 할 수도 있음. 체 F ->(덧셈을 빼고) Monoid -> 집합 이런식으로

- 이렇게 하는게 현대 수학의 대세였음. 다른 애들을 카테고리적으로 같게 볼 수 있게 만들어서 처리해버리는 것. 더 풍부한 구조와 성질들을 다루게 해줌.

- 하지만 모치즈키의 방식은 이거의 반대임. isomophic한 애들이더라도, 이 isomophism들에 이름을 붙이는 방식 등으로 구별되어야 한다고 하는것.

(역주 : 그래서 제목이 A Crisis of Identification이 아닌가 싶음)

- 숄체, 스틱스와 모치즈키가 충돌하는 부분도 이부분. 숄체쪽은 과정의 핵심인 "radical simplification에서 어떤건 증명 전체를 날려버릴 수도 있다"라고 얘기함.

- 모치즈키는 그렇게 취급하면 안된다고 주장. 하지만 이러면서 카테고리 이론의 표준적 용어와 구조들에 특이한 정의들을 쓰는중

(원문 : But Mochizuki, in defending himself, again uses some idiosyncratic definitions for common constructions in category theory, while still using standard terminology.)



- 카테고리 이론은 '그 자체로 대수와 위상의 어려운 문제를 푸는게 아니'기 때문에, 이 지적은 카테고리적 얘기인건만은 아님

- 실제로 숄체쪽이 만든 radical simplification이 Forgetful Functor Tower를 어느정도 내려 온 이후에야 정당화 될 수도 있음. 이 경우 숄체쪽이 natural하지 않게 동일시를 해버린 것. 모치즈키는 Anabelian 기하의 전문가고, Anabelian기하는 미묘한 부분이 좀 있음

- 하지만 숄체쪽이 틀렸다 하더라도 Thm 3.11과 Cor 3.12의 여러 가정들이나 존재성 등등 메꿔야할 갭들은 여전히 존재함.

- 모치즈키의 증명을 표준적인 언어로 다시 쓴다음 면밀하게 연구를 한 다음에야 이것들이 메워질것임

- 아니면 Heegner처럼 모치즈키는 그저 우리가 이해못하는 식으로 옳은 증명을 썼고, 시간이 이를 보여줄지도 모르겠음.




공부하기 싫어서 수학글 + 잡글 쓸겸해서 뒤에 텝스 공부법도 쓸려고 했는데 생각보다 빡셌다...

텝스 공부법은 나중에 따로 쓰던가 안하든가 하고 밥먹으러감