한완수입니다.
EX01과 그 밑의 교과서적 해법에 대한 질문입니다.
스스로 생각하며 느낀 의문. 그리고 나름대로의 시행착오등
사고의 흐름을 그대로 서술해보았습니다.
정말 모르겠는것은 진한글씨로 질문삼아 올리니.
진한글씨에 답해주시고, 여유가 되신다면 제 사고의 흐름에서, 어정쩡한 부분을 보완해주셨으면 고맙겠습니다.
진한글씨가 질문입니다.
(그 외에도 가능하시다면) 제 풀이에 첨삭해주시면 감사하겠습니다.
-------------------------------------------------------------------------------------
f(x)는 비록 x=0에서 불연속이나, f(x)와 g(x)모두가 연속일 수 있는 지점은 0을 제외한 실수전체입니다.
따라서 그 지점을 전제로 한다면 f(x)*g(x)또한 연속이 됩니다.
그러나, 다른 구간이 아닌 x=0에서라면 f(x)*g(x)함수는 f(x)가 x=0에서 불연속인 관계로,
불연속이잖아요. 근데 저기서는 불연속일 가능성이라고 하네요.
그냥 명확히 불연속 아닙니까?
특정 구간에서 둘 다 연속일때만 그 둘을 곱한 f(x)*g(x)도 연속이라는게 연속의 성질이니까.
둘 다 연속이 아니라면 불연속일 가능성 이럴게 아니라, 명확히 불연속이란 말이죠.
제가 이의를 표하고 싶은 부분은 바로 이거예요. 불연속이다. 라고 하는게 맞지 않나요?
왜 불연속일 가능성이라고 말한걸까요?
흔들리게 찍어서 죄송합니다.
a=-1일때만 연속이고 나머지는 x=0에서 불연속이라고 하지만..
a값은 g(x)를 결정하는 값인데다가, f(x)는 여전히 불연속이잖아요.
a로 교묘하게 f(x)*g(x)가 연속이 되게끔 바꿔주긴 했지만,
f(x)는 여전히 불연속이기 때문에 f(x)*g(x)는 불연속이예요.
불연속일 가능성이란게 이런 a값으로 연속이 될 가능성이 있기때문이었을까요?
만약 g(x)에 a가없는 문제였다면 f(x)*g(x)는 의심의 여지없이 불연속이었겠군요.
그니까 위 풀이는 딱히 연속에 대한 성질이 적용된다기보다도.. 다른 의도를 갖고있는 문제였을까요?
저는 찝찝함을 안고 다음으로 넘어갔습니다.
바로 이해안가는것이 생겼습니다.
g(0)=0 이어야지. 라고 발상하는 부분이 이해가 안가요.
저런 생각을 하게되는 절차가 궁금합니다.
"각각이 연속이면 곱도 연속이다"라는 명제가 참일때 얘의 가정, 결론을 각각 부정한거(명제의 이)가 참인지 거짓인지는 바로 알 수 없고 따져봐야됨. "x가 양수면 x제곱은 양수이다" 라는 명제가 참이라고 "그럼 x가 0 이하이면 x제곱은 0이하이겠군!"라고 생각하진 않잖아
아 그러니까 각각이 연속이면 곱도 연속이다. 라는 말에 해당하지 않는 여집합일뿐이지, 그것이 모아니면 도. 식으로 바로 판단할 수 없다는거군요. 너무 고맙습니다.
해당 댓글은 삭제되었습니다.
..? 말하신 의도는 잘 모르겠지만.., 말씀하신것은 연속이지 않나요?
아 뭔말인지 알겠습니다. 그럼 x=1을 기준으로 했을때는 아예 1이거나 1에 수렴하는걸 곱해주면 되는거겠네요!! 다음으로 궁금한건 본문에 썼던 "함수를 곱하니까 g(0)=0이어야지~"라는게 뭔지 알고 싶습니다. 어딘가 덜 이해되어서 이런게 안 떠오르나 싶기도 하고...
제 말은 그니까 g(x)=x-1일때 말이예요. f(x)=x+1(x<1).f(x)=x-1(x>=1) 이면, f(x)는 불연속이지만, f(x)*g(x)는 연속이잖아요. g(x)의 함숫값이 0이거나 0에 수렴하니까요. 제가 글을 이상하게 썼을까요. ㅈㅅ.
아..네. 그래서 수능적해법이라는 "g(0)=0"은 도저히 어떻게 생각하는지 모르겠는데.. 알려주실건가요
아뇨,그건 알겠는데요, 그거랑 저거랑 같은말인가 싶었어요. 더 생각해봤거든요? EX01에서 주어진 g(x)에다 0을 넣으면 g(0)=-2(a+1)이 나오잖아요. 저는 이것만 보고 왜 g(0)=0이지 싶었습니다. '함수를 곱하니까' 라는 말이 있는걸 보면, -2(a+1)=0이 아니고서야 연속일 수 없겠네요. 가르쳐주신것과 같은 원리였던거 같습니다. 이 이해가 맞았다면 제대로 이해한게 맞겠네요. 계속된 질문에도 답변해주셔서 감사합니다.
원래 연속성은 함수 따로따로 관찰해서 얻는 게 아님 근데 수렴할 때는 수럄×수럄=수렴은 되잖아? 저 f가 0에서 연속은 아닐지라도 좌극한과 우극한이 수렴하고 있음 즉 g가 좌극한 우극한이 0으로 수렴해주면 계산시 좌우극한이 0이 될 가능성이있다ㄴ느 거임 - dc App