정수론 보고있는데, 공리로서 다음의 두가지가 제시되어있음
1. ab=ac, a neq 0 => b=c
2. ab=0 => a=0 or b=0
1로부터 2 증명 : ab=0 => ab=a*0. so, a neq 0 => b=0
2로부터 1 증명 : ab=ac => ab+(-ac)=ab+a(-c)=a(b+(-c))=0. and a neq 0. so, b+(-c)=0, b=-(-c)=c
은 가능함.
결합 교환 분배 덧셈곱셈항등원 덧셈역원 순서공리 만으로 위의 둘 중 하나를 증명하는 것이 가능한가요?
"순서 공리"를 서술하는 방식에 따라 다름.
a와 b가 둘다 0이 아닐때 ab=0이면 곱셈 항등원과 분배법칙으로 1+1+1+…+1=0을 이끌어 낼 수 있음. 1>0이 주어져 있으면 여기서 바로 모순을 보일 수 있고 아님 몰?루
integral domain이 아닌 commutative oredered ring이 존재해서 안될 거 같은데
순서공리만으로는 좀 힘들거같고 주어진 순서가 well-oreded로 주어진점도 이용가능하다면 가능할듯
다만 order condition을 strict order로 적어놓으면 그렇게 서술된 순서공리와 나머지 공리들 하에서 가능함.
ㄴㅇㅇ 그럴거 같음