벡터를 원소로 하는 집합 S가 일차독립이기 위한 필요충분조건은 S의 모든 유한 부분집합이 일차독립임를 증명하라.
“모든 유한 부분집합이 일차독립일 경우 -> S가 일차독립” 방향을 증명하려 하는데, 모든 유한 부분집합의 union 역시유한 집합인 것이 보장되지 않는지 궁금해서 질문 올립니다.
Let A_1, A_2, …, A_n be a finite subset of S, then, A_1 ∪ A_2 ∪ , …, ∪ A_n = S. 이 부분에서 finite subset들의 union인 S도 finite set인 것이 보장 안되지 않나요? 보장되면 증명이 끝나는데…
https://m.dcinside.com/board/math/41019
1. 집합 S가 일차독립이라는 정의가 어디에 나와요?? 내가 아는 정의는 "S의 모든 유한 부분집합이 일차독립" 일텐데, 2. Finite set의 finite union은 finite이 되지만 일반적으로는 안되요. 3. A_1 ∪ A_2 ∪ , …, ∪ A_n = S 이렇게 쓴이상 finite union이니까 결과도 finite이 되요
만약에 S가 무한집합이라 가정하면 n이 infinity로 가니까 그 때도 finite union이라 할 수 있나요?
1번에 대한 답을 먼저 해줬으면 좋았을텐데,, S가 무한집합인 경우 당연히 유한집합들의 유한 합집합으로 나타나지 않을거고, 유한집합의 무한합집합은 유한집합이 될 수 없어요. S가 무한집합인 경우 "S의 모든 유한 부분집합이 일차독립"으로 일차 독립을 정의할텐데, 저걸 증명하라는거 보면 책에는 일차독립의 다른 정의를 사용하고 있을거 같네요
1번이 무슨 뜻인지 이해가 안가서… 일단 패스했습니다. 물어보신 게 책에서 일차독립의 정의가 어떻게 되어있나 - 라는 것이면 아마 0을 S의 선형결합으로 표현했을 때 모든 계수가 0이면 선형독립으로 정의했던 걸로 기억합니다.
문제에서 S가 무한집합인지 유한집합인지 정의해주지 않았으니 두 가지 경우로 각각 나눠서 생각해본다면, 무한집합의 경우는 어떻게 가야 할까요??
보는 책이나 노트 앞에, 일차독립의 정의가 나올거에요 그리고 아마 저런식으로 문제가 나와있다면 앞부분 어디에선가 'S는 별다른 이야기가 없으면 유한집합이라 가정하자' 라고 나와있을거 같네요. 무한집합의 경우에 가장 먼저 해야할것은, S가 무한집합인 경우 선형독립이라는 말이 무슨뜻인지 부터 알아야 할거에요. 책에 있는 문제를 풀때는 앞에 있는 정의를 이용해 적당히 유추해가면서 푸는게 아니거든요.
넵 감사합니다~!