선 2줄 요약:

1. C가 대수적으로 닫혀 있는 이유는 R의 모든 다항식이 사잇값 성질을 만족하고 C/R 가 degree 2 extension 이기 때문이다

2. 복소해석을 할 수 있는 이유는 R가 완비적이고 C에 삼각형을 그릴 수 있기 때문인 것 같다








복소수의 좋은 성질 중 대표적인 2가지가

대수적 닫힘이랑 복소해석학인데

복소수체 C의 어떤 점이 특별해서 이 성질들을 가지는지 생각해봤음

그냥 공부 안 돼서 딴짓하는 거임

뻘짓인거 앎










C가 대수적으로 닫혀있는 이유

자연수 집합 N에다가 음수들을 추가하면 정수 집합 Z가 되고

Z의 분수들까지 추가하면 유리수 집합 Q가 됨

여기까진 순수하게 대수적임

Q를 실수 집합 R로 확장하는 방법은 해석학적임

(R를 복소수 집합 C로 확장시키는 과정은 대수적임)

근데 이렇게 해석학적으로 얻은 C가 뜬금없이

대수적으로 닫혀있다는 대수적인 성질을 지님

Q×Q 에다가 복소수 곱셈을 줘도 대수적으로 닫혀있지 않은데

해석학적으로 R를 만든 다음에 R×R 에 복소수 곱셈을 주니까 갑자기 대수적으로 닫혀있게 됨

이 현상을 일으키는 C의 핵심 성질이 뭔지 좀 찾아봤음

그 핵심 성질이 뭐냐면, R가 순서체이면서 모든 다항식에 대해 사잇값 정리가 성립한다는 것과, C가 R의 2차원 extension 이라는 것임

모든 다항식이 사잇값 성질을 가지는 순서체를 real-closed field 라고 부른다 함

그리고 real-closed field 의 degree 2 extension 은 모두 대수적으로 닫혀 있다 함

그러니까 대수적 닫힘이라는 대수적 성질을 얻기 위해 Q를 R로 확장하는 해석학적 과정이 필요했던 이유는

Q를 연결집합 R로 확장함으로써 사잇값 성질을 부여해야 하기 때문임

이제 이 R를 2차원으로 확장해서 C를 만들면 대수적으로 닫혀있게 되는 것임




※

실제로 C가 대수적으로 닫혀있다는 대수적, 대수위상적 증명에서는 사잇값 정리가 쓰임

복소해석적 증명에서는 좀 다르게 완비성이 쓰이는데

최소 상계 성질을 가지는 조밀한 순서집합은 연결돼 있다는 정리가 있으므로

대충 말하면 함의 관계가

완비성 ==》 연결성 ==》 사잇값 성질

이라 어차피 결국에는 사잇값 성질이 핵심 성질인 듯















복소해석학이 가능한 이유

체 F에서 복소해석학을 하려면 위에보다 좀더 강한 성질이 필요한듯

적어도 학부 복소해석의 정리 대부분은 삼각형 contour 에 대한 Goursat 정리에서 나옴

Goursat 정리의 증명을 꼼꼼히 따라가면 그 정리가 성립하기 위한 최소한의 충분조건을 얻을 수 있고

따라서 복소해석을 위한 최소한의 세팅이 파악될 텐데

나중에 자세히 생각해보고 싶음

지금 대충 생각해본 바로는

Goursat 정리 자체를 서술이라도 하려면 미분가능성과 적분이 정의돼야 함

미분가능성은 몇몇 조건을 만족하는 위상체에서 정의할 수 있을 텐데

나는 자세히 모름

적분에 대해서는, 내가 아는 가장 일반적인 적분이 르베그 적분인데

르베그 적분을 정의하려면 R의 최소 상계 성질이 필요함

여기서 완비성과 관련된 뭔가가 필요해보임

이제 Goursat 정리의 증명을 보면

하이네 보렐 정리가 쓰임

하이네 보렐 정리를 증명할 때도 R의 완비성이 쓰이는데

하이네 보렐 성질이 없는 완비 거리 공간도 있는 데다가

R도 완비적이지만 R에서는 복소해석을 못 한다는 사실을 보면

C에는 복소해석을 가능케 하는 더 특별한 성질이 있음을 알 수 있음

Goursat 정리에 삼각형이 등장하니까

체 F에 삼각형을 그릴 수 있다는 성질도 필요해 보이는데

이것은 어떻게 정의할지 모르겠음