[일반] 미방 변수분리 질문

[익명(203.226)]

y는 x에 대한 함수이고 x의 범위는 x>0 일 때,

xy''+y'=0 같은 식을 푼다고 치면

y''/y'=-1/x 으로 바꾼 후 각각 적분할 수가 있는데

그러면 ln|y'|=-ln(x) + C로 나오잖아요?

조금만 더 정리해서

|y'|=Cxe^(-1) 라고 했을때 절댓값이 사라지지 않는데, 여기서 y를 구할 수 있는 방법이 있나요?

[익명(220.67)]

나눠서하면 안되나요

[익명(203.226)]

x의 범위를 나누는 거면 의미가 있겠는데, y'의 범위를 나눠서 y(x)를 구하는건 이상한 거 같네요 기울기가 양수이면 y=1/2x^2 꼴이고, 기울기가 음수이면 y=-1/2x^2 꼴이라는 걸 구해도 실제로 y가 어떻게 생겼는지는...

[익명(203.226)]

아 y가 미분가능이니까 연속이란걸 쓰면 좀 될려나

[익명(220.67)]

y''이 있는데 y'이 연속이니까 양수면 하나만되지 않나요 아닌가

[익명(203.226)]

아 그러네요, 감사합니다 덕분에 해결했어요

[ns(qwer2357)]

저런 경우 y'이 연속이라서 양수 음수를 번갈아서 가질수 없기 때문에 한쪽 부호를 택해도 되고 그래서 상수 C에 포람되도록 할 수 있음. 그래서 y' = C/x로 정리하면 되고 y = C1 ln x + C2 (중간에 e는 오타라 보고)