[일반] 무리수

[코끼리(116.39)]

어떤 유리 수열의 무한합이 있는데요.
그 일반항의 극한이 점근적으로 1/(n!) 로 수렴하면
그 무한합이 무리수로 수렴한다고 봐도 괜찮나요?

[코끼리(116.39)]

그 끄트머리? 특정 항부터 무한대까지의 합이 e에 대한 급수의 끄트머리?에 근사하니까요

[유사수학자(lonelymath)]

수렴하는 속도를 임의로 늦출수 있잖아.

[코끼리(116.39)]

리만 재배열 정리요?

[익명(118.235)]

ㄴㄴ

[코끼리(116.39)]

뭐가 뭔징... 제가 해결하고 싶은 내용을 좀 더 구체적으로 말하면, 상수 a로 수렴하는 무한급수가 있거든요. 이 무한급수의 일반항이 아마 전부 무리수 같은데, 무리순지 유리순지 그렇게 중요한 건 아닌 거 같고. 그 일반항을 b_n이라 할때, n이 커지면 b_n은 1/n! 로 근사합니다. 이때, c_n 을 정의하는데요.

[코끼리(116.39)]

c_n 의 무한합은 마찬가지로 a고, 1/n! 에 근사하며, 각각의 b_n 과 값이 유사한 유리수 수열입니다. 이런 c_n에 대한 정의가 가능한지를 확신을 못하겠고 일반항이 1/n! 로 근사한다는 점으로부터, e 와의 연관성을 따져, 무리수인지 더 나아가 초월수인지 여부를 따질 수 있냐...... 는게 질문입니다..

[익명(118.235)]

그런 c_n이야 얼마든지 잡을 수 있지만 a가 유리수냐 아니냐하곤 관련이 없음

[코끼리(116.39)]

오...일단 글쿤요... 알겠습니다 ʕっ•ᴥ•ʔっ

[유사수학자(lonelymath)]

임의의 양의 실수 r에 대해서, 어떤 유리수열 a_1, a_2, ...을 잡아줄수 있어서 이들의 합은 r로 수렴하고 a_n은 점근적으로 1/n!이 되도록 할수있음. a_n이 아주 천천히 1/n!에 수렴할수도 있는거고 말그대로 마음대로 속도를 조절할수 있어서 이 유리수열을 잡아주는데 있어서 너무나 선택의 여지가 많음

[유사수학자(lonelymath)]

더 간단한 반례를 원하면 a_n = 1/n! - 1/(n+1)! 같은거 생각하면 됨

[코끼리(116.39)]

글쿤요!! 근데 이런 내용은 어디서 봐야된담... 얘도 해석학 책에 있나...논문을 봐야하나...검색해도 안나오는데

[유사수학자(lonelymath)]

이런게 딱히 해석학 책에 있지는 않음. 다만 해석학을 배웠다면 이런 논증에 익숙해져 있어서 그냥 좀만 생각해보면 금방 이끌어낼수 있게됨. 사람들이 학부과정을 조금이라도 공부하라고 권유하는게 지식을 쌓는게 유일한 이유가 아니라, 이런 직관을 얻으라는 것임.

[코끼리(116.39)]

혹시 이 댓글을 보신다면...? 제가 오일러의 논문 중 일부라도 한글로 번역, 정리된 책이 있으면 좀 읽어보려고 검색해봤는데 나오질 않네요... 아시는 거 있으신 부운... pdf 파일 같은건 보기가 너무 불편해서.. 오일러의 상당수 주요 증명들이 그나마 현대수학 관점에선 초등적이라고 생각해서 읽어볼만 한가...싶은데 어떨라나?요? 그러니까,

[유사수학자(lonelymath)]

오일러는 해석학이 정립되기 이전의 사람이라 특히 무한이 개입되어있는 경우 엉성하게 증명한 경우가 많았음. 초등적이라고 해서 그것이 맞는 증명이라는게 보장되어있지 않아서 비추함.

[코끼리(116.39)]

복잡한 이론 말고, 가장 근본이 되는 (특정 증명에 관련한) 공식, 기교들이 여러가지 잘 소개돼 있는걸 보고싶은데요.. 그렇다고 올림피아드에서 사용되는 스킬들은 좀 과한거 같고... 괜찮은 책 없나요??