[일반] 수학 질문 있습니다

[한연.(hanmath11)]

한 점 X에서 검은색 포물선에 그은 두 접선이 각각 x=a, x=b에서 접하는 그림입니다.

x=c에서 그은 법선이 X를 지나면 a<c<b라고 볼 수 있나요? 증명을 어떻게 해야 하는지 모르겠습니다.

[익명(qotdrnazv5u9)]

점 X를 지나는 직선의 방정식을 만들고 그걸 토대로 "이차함수와 점 X를 지나는 직선의 방정식의 교점=1"인 방정식을 풀면 증명이 뚝딱 하고 되겠네요 ㅎㅎ

[한연.(hanmath11)]

이렇게 간단한 걸...

[익명(110.70)]

? 교점이 1인 직선은 x축에 수직인 직선뿐인데 그게항상 이차함수에 수직인건 아니지않나

[익명(110.70)]

일단 만나는 직선이라고 하면

[익명(qotdrnazv5u9)]

교점 개수입니다 ^^

[익명(110.70)]

저도 교점개수 말하는 거맞아요

[익명(qotdrnazv5u9)]

오케이. 이게 최종답변입니다. 점 X을 지나고 이차함수와의 교점이 한개인 직선은 3개가 나옵니다 1&2. 양쪽 접선 2개 3. x축과 수직인 접선 한개 이때 기울기가 무한대인. 즉 0y=ax+b꼴인 직선만 배제해주면 되겠네요. y=ax+b꼴로 놓았을때는 이 과정이 자동생략되고요.

[익명(110.70)]

X에서 (t,f(t))까지의 벡터와 접선벡터 (1, f'(t))의 내적(=g(t))은 t = a에서 음수이고 t = b에서 양수이며 실수전체에서 강증가연속함수임을 이용해보셈. 따라서 g(t) = 0인 t는 (a,b)에 유일한데 그게 곧 c임.

[익명(qotdrnazv5u9)]

수류탄으로 개미잡기 ㅋㅋㅋㅋ

[한연.(hanmath11)]

볼록하기만 하면 다 성립하겠네요

[샤온(bsjme122107257257)]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 수류탄으로 개미잡는대ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 비유 개웃기네 ㄹㅇㅋㅋㅋㅋ

[익명(175.223)]

반례가 있네요. 아무 이차함수잡고 꼭짓점이 아닌 그래프 위의 점 (c,f(c))에서 이차함수 윗부분방향으로 법선을 반직선으로 그으면 이차함수와 한점에서 만납니다. 그 점을 넘어선 한점을 X라두면 X에서 이차함수에 그은 접선의 두 접점 (a,f(a)), (b,f(b))는 직관적으로 (c,f(c))와 축을 기준으로 다른쪽에 있으니 c는 (a,b)에 없습니다.

[한연.(hanmath11)]

(a, b)에 X를 지나는 법선이 하나 이상 존재한다로 수정하면 맞게 되는 건가요?

[익명(175.223)]

근데 그럼 너무 당연한 문제가 돼서.. 사실 볼록함수라는 조건없이도(그냥 미분만 가능해도)성립해요 윗댓대로 내적 g(t)정의하면 사실 g는 'X로부터 (t,f(t))를 잇는 벡터의 크기의 제곱'의 도함수라서 다르부정리에의해 사잇값 성질을 가져요. t = a에서 음수, t = b에서 양수니까 그사이에 g(t) = 0인 t는 당연히 있을거에요.

[익명(175.223)]

다르부정리가 어려우면 그냥 f가 미분가능하다에 도함수가 연속이다라는 조건까지 추가하면 g(t)가 연속이니 사잇값 정리로부터 그냥 g(t) = 0인 t의 존재성이 바로 나와요. 직관적으로는 이렇게 생각하면 좋을 것 같아요

[익명(175.223)]

"X에서, 함수위에서 이동하는 사람을 바라볼때, 시각 t = a에서는 마주보고 t = b에서는 등을 보면 (f의 도함수가 연속이므로)이동 방향이 연속적으로 변하므로 따라서 사잇값정리에 의해그 사이에 정확히 옆모습을 본 시점이 있다."

[익명(175.223)]

이 말만 생각해보면 정말 f가 딱히 이차함수일 필요도 볼록일필요도 없음을 예상해볼 수 있습니다.

[한연.(hanmath11)]

질문한지 오래된 것 같은데 답변 감사합니다. 저렇게 보니 직관적으로 와닿네요

[익명(175.223)]

추가적으로, f가 볼록이면 그러한 c가 '(a,b)에서는 유일하게 존재'할 것 같긴한데 이건 잘 모르겠네요.