물리충인데 이번에 다양체 좀 엄밀하게 공부 중인데

두 미분 다양체가 미분 다양체로서 같다는 말이

미분 구조가 같다는 말임? 아니면 미분 동형 사상이 존재한다는 말임?

이 두 개가 다른 것 같던데 (지금까지 같은 건 줄 알았음)



미분 구조는 아틀라스들 사이의 컴파터빌리티를 정의하면 이게 동치 관계가 되어서

이 동치류들을 보고 미분 구조라고 하는 것 같고 (동등하게는 동치류마다 하나씩 존재하는 맥시멀 아틀라스를 보고)

미분 동형 사상 f는 그냥 두 다양체의 차트 (U, φ), (V, ψ)를 가져와서

ψ^-1•f•φ, φ^-1•f•ψ 가 미분 가능하고 f의 역함수도 그러하면 이걸 미분 동형 사상이라고 부르는 것 같은데

여기서 두 차트가 꼭 컴파터블하지 않더라도 미분 동형 사상이 존재할 수 있던데

예를 들어 보통 위상을 갖는 실직선 IR에 대해서 {(IR, id_R)}이랑 {(IR, x^1/3)}은 각각 원소가 하나뿐인 아틀라스인데

얘들은 컴파터블하지 않지만(트랜지션 맵이 미분 불가능하니)

미분 동형 사상은 찾을 수 있음



수학자들은 뭐 분류하는 거 좋아하던데 서로 다른 미분다양체라는 것은 무엇을 말하는 거냐

미분 구조가 다른 걸 말하는 거야? 아니면 미분 동형이 아닌 걸 말하는 거야

아니면 상황에 따라 두 가지 분류 기준을 쓴다면 어떤 상황이나 맥락에서 그렇게 쓰는 거고 장단점은 뭐야?

예를 들어 1, 2, 3차원 미분다양체는 'up to 미분 동형 사상, 미분 구조가 유일'하다던데 (Radon Moise thm)


애초에 이 둘이 일반적으로 다르다는 내 이해가 맞는 거?

그리고 두 개가 같아질 때는 언제임?