f:R→R는 실수 전체에서 미분 가능한 함수

임의의 x에 대해 f'(x)≥0이고, 집합 A={α: f'(α)=0}가 무한집합일때, A의 원소의 개수가 정수집합의 원소의 개수보다 많으면(적당한 표현을 모르겠는데 걍 실수집합의 밀도?? 정도로 생각하면 될듯) 적당한 구간 (a,b)∈R가 존재하여 (a,b)에서 f는 상수함수이다.


참일까 거짓일까


생각해보게 된 배경은 문돌이 과외생한테 증가함수 설명해줄때마다 책에서

명제 [임의의 실수 a, b에 대해 a＜b이면 f(a)＜f(b)가 성립] 이거랑 명제 [임의의 x에 대해 f'(x)≥0이 성립] 이거랑 거의 동치급으러 써놨길래

f'(x)>0이면 당연히 성립하고, f'(x)가 0이 돼도 괜찮은건 y=x^3 이런거때문에 한 점에서 잠깐 f'(a)=0이 되는건 상관 없다.. 이런 뉘앙스인거 같긴 하거든

실제로 문과애들은 다항함수만 다루니까 f를 다항함수로 생각하면 맞는 말인것 같고


근데 상수함수같은건 모든 실수에 대해 f'(x)≥0 이 맞긴 한데 증가함수는 아니잖아

그래서 위에 저 두 명제중에서 뒤에꺼에 f'(α)=0이 되는 α의 개수에 대해 뭔가 더 조건을 달아주면 동치가 되지 않을까 생각해봤음

여기서 또 추측은...A={α: f'(α)=0}가 무한집합이어도 A랑 정수집합Z 랑 일대일 대응 되는것까지도 상관 없을것같고 (아닐수도 있지만)

문제는 A가 어떤 구간 안에서 상수함수가 되는ㄱ ㅔ 문제라고 생각해서 거꾸로 맨 위에 추측같은걸 생각해보게 됨


뭔가 말이 왔다갔다 정신없긴 한데... 암튼 프라임값 0되는 점의 개수랑 상수함수 되는거랑 관련이 있을까?? ㅠㅠ