[일반] 해석학 문제 힌트좀 부탁드려요 ..

[임고생(112.172)]

f가 순증가이고 연속이라는걸 어떻게 이용해야 하나요 ???

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

리만적분 필요충분조건이 불연속점이 measure 0인거쓰면 되겠네

[임고생(223.38)]

측도는 범위에 안 들어가서..ㅠ

[익명(49.143)]

어떤 [a,b] 위에서 유계인 함수 h에 대해서, h가 [a,b] 위에서 리만적분가능한건 임의의 e>0에 대해서 d>0이 존재하여, [a,b]의 임의의 partition P : a=x_0 < ... < x_t=b에 대해서 |x_i - x_{i-1}|<d이면, m_i와 M_i가 각각 h의 [x_{i-1},x_i] 내에서의 infimum과 supremum이라 할 때 ∑(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) < e를 만족하는것이라는 정의를 이용하면 어렵지 않음.

[익명(49.143)]

좀 자세히적으면, f(0)=a, f(1)=b라 하면 정의상 [a,b]는 [0,1]의 부분집합이고, g가 [0,1]위에서 리만적분가능하므로 [a,b]위에서 리만적분가능하고, 따라서 임의의 e>0에 대해서 어떤 d>0가 존재하여, 임의의 [a,b] 위의 partition P : a=x_0<...<x_t=b에 대해서 |x_i-x_{i-1}|<d를 만족하면 ∑(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})<e/4를 만족한다. (여기서 m_i, M_i는 각각 [x_{i-1},x_i] 안의 g의 infimum과 supremum)

[익명(49.143)]

이제 h : [a,b]->[0,1]을 f의 역함수라 하면, h는 증가함수이고 |h(x)-h(y)|<=4|x-y|를 만족하게 된다. 따라서 u_i=h(x_i)라 하면 Q={0=u_0 < ... < u_t=1}은 [0,1]의 partition이고, |u_i - u_{i-1}| = |h(x_i)-h(x_{i-1})|<=4|x_i-x_{i-1}| < 4d를 만족하며, ∑(M_i-m_i)(u_i - u_{i-1})=∑(M_i-m_i)(h(x_i)-h(x_{i-1}))<= 4∑(M_i-m_i)(x_i - x_{i-1}) < e라는 결론을 얻고,

[익명(49.143)]

m_i와 M_i는 [x_{i-1},x_i]=[f(u_{i-1}), f(u_i)] 안의 g의 infimum과 supremum이므로 [u_{i-1},u_i] 안의 g(f(x))의 infimum과 supremum이고, |u_i-u_{i-1}| = |h(x_i)-h(x_{i-1})|<=4|x_i-x_{i-1}| < 4d이므로 마찬가지로 리만적분가능성 정의에 의해서 g(f(x)) 또한 [0,1] 위에서 리만적분가능하다는 결론을 얻는다. 끝.

[익명(49.143)]

위의 증명은 그냥 리만적분가능성 정의만 써먹은거라 복잡하게 적었지만, 측도론을 써먹으면 f의 역함수가 Lipschitz함수라서 그 역함수가 측도 0인 set을 측도 0인 set으로 보내기 때문에, g(f(x))가 리만적분가능하다는 사실을 쉽게 얻음.

[익명(49.143)]

아 f가 전사라는 말이 있었으니 위 풀이에서 a=0, b=1이라고 둬도 됨. 실제로 f가 전사라는 조건은 필요없음.

[임고생(203.123)]

감사합니다!

[익명(49.143)]

내 풀이에서는 f : [0,1] -> [0,1]의 image가 [a,b]이고 f가 strictly increasing이라 [a,b] 위로 전사라는 사실을 이용했지 [0,1] 위로 전사라는 사실은 이용하지 않음. (큰 차이는 없지만..) 그리고 f가 연속이라는 말은 솔직히 필요없음. f의 역함수가 Lipschitz로 연속이니 f 또한 연속이 됨. (i.e. compact space X 위에서 f가 단사 연속함수이면, f의 역함수도 f(X) 위에서 연속함수가 됨.)

[익명(49.143)]

저기서 저 f의 역함수가 Lipschitz인것처럼 measure zero set을 보존하는 조건은 필요함. 저 조건이 빠지면 예를 들어서 f의 역함수를 Cantor function을 strictly increasing하게 변형해서 주면, g가 리만적분가능한데 g(f(x))는 리만적분하지 않은 g를 얼마든지 설계할수 있음.