[대학교이상] 갈루아확대체 질문합니다,

[익명(106.252)]

Q의 갈루아 확대체 K에 대해서 a가 K의 원소이면 a의 최소다항식의 모든근들은 K에 포함되나요?

[lp(yyi050324)]

갈루아 동치 중 하나가 separable+splitting 아님?

[lp(yyi050324)]

아 찾아보니 normal+separable이긴 한데 쨌든 질문의 답은 되네

[익명(106.252)]

아 그러네요. 분리확대체의 개념을 잘 안쓰다보니 있는줄도 몰랐네유...

[익명(180.66)]

애초에 갈루아말고 노말까지만 되도 되겟죠??

[익명(211.48)]

매우 괜찮은 질문이네, 대수학자들이 원했던 질문이기도 하고, 대수학자들은 과거에, 대수다항식의 대수적 해법에 대해서 궁금해하고 연구했거든 그러던 와중에 계수들이 체의 원소일 경우에 한하여 풀기 시작했고, 계수들이 A체의 원소라도, 그의 해답으로서 근이 A체에 없을 수도 있다는 사실을 알게 되었지

[익명(211.48)]

그러면 A체를 포함하면서 근@를 포함하는 확대체B가 존재할까?에 대한 자연스러운 의문은 다항식환A[x]를 @의 최소다항식으로 나눈 체와 동형인 A(@)가 존재한다는 거였고, 그렇더라도 n차 다항식의 모든 근이 A(@)에 있는 것은 아니었어,

[익명(211.48)]

그러다가 분해체, 분리가능확대체, 이런 개념들이 도입되고, 나중에 확대체의 자기동형사상의 부분군인 정규부분군과 대응하는 정규확대체도 도입되었지. 수학자들도 가졌던 의문이니만큼 처음배우면 당연히 가질 법한 좋은 질문이야.

[asdf(210.219)]

갈루아가 normal extension 이기 때문에 자명