[일반] 도함수가 0에 수렴해도 함수값이 발산할 수 있는 이유가 뭔가요?

[익명(121.173)]

lim x->inf f'(x)=0 이라고해서

lim x->inf f(x)가 수렴한다는 걸 보장 하지는 못하는데..

반례를 보여서 증명하면 쉽게 알 수 있겠지만, 그냥 이러니까안돼~ 하는 느낌이라...

직관적으로는 기울기가 0에 가까워지면 수렴할 것 같은데, 왜 수렴하지 않는 건지 

직접적인 증명은 없는 건가요?

[익명(119.202)]

1+1/2+1/3+...가 발산하니깐

[익명(119.202)]

즉 수열이 0으로 수렴하는 거랑 급수가 수렴하는 건 다른 문제임

[익명(203.229)]

로그 - dc App

[익명(49.143)]

0으로 수렴한다는게 0이라는건 아니고 x가 굉장히 커지면 f’(x)가 0에 가까워진다는건데, f(x)가 수렴하려면 f’(x)가 0에 빨리 가까워져야하고, 여기서 얼마나 빠르게 0에 가까워지는지에 대한 정보는 포함되어있지 않아서 그렇습니다

[익명(49.143)]

좀 더 직관을 불어넣자면, 편의상 f'가 항상 양수이고 연속이라는 전제하에서, f'가 0으로 수렴하기 위해서는 그냥 임의의 e>0에 대해서 적당히 큰 x(e)를 잡아서 x≥x(e)이면 f'(x)≤e가 되기만 하면 충분합니다. 여기서 x(e)가 얼마나 큰지에 대한 정보는 제공되어있지 않죠. 따라서 예를 들어서 임의의 x∈[x(e), x(e/2)]에 대해서 e/2≤f'(x)≤e인 예시를 만들어줄수 있고, 이 경우 f(x(e/2))-f(x(e)) ≥ e/2 * (x(e/2) - x(e))를 만족하게 될테니 x(e/2)가 x(e)보다 아주 크게 만들면 f가 아주 큰 값을 갖게끔 할 수 있죠. 결국 f'가 0으로 수렴한단 사실만으로는 수렴속도에 대한 정보가 없어서 너무 약한 조건입니다.